/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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Verremo in conseguenza a definire un'operazione razionale che iterata sulla soluzione 

 x = — 1, y — — 2 della (6), corrispondente alla soluzione minima x~y = 3 — ì 

 della (1), dà tutte le soluzioni della (6), e quindi tutti i triangoli corrispondenti alle solu- 

 zioni della (1). 



Nella successione 



A , A, , A, , . . . , A H , . . . 



dei triangoli cosi ottenuti, questi risultano ordinati per valori crescenti dell'ipotenusa, e 

 sarà dimostrato che 1' ipotenusa, del triangolo A„ cresce con n non meno rapidamente 

 di 9 n( " +,) . 



Ne risultano anche ordinate per valori crescenti della A" le soluzioni della seconda 

 equazione fondamentale, soluzioni cui daremo il nome di antitriangoli'. 



V . v, , V 2 , • • • , V» , • • • 



Stabiliremo fra i triangoli e gli antitriangoli delle relazioni di ricorrenza, in base alle 

 quali si può dire che un triangolo A„, genera i due triangoli A 2 „ e A 2n+) , e che un an- 

 titriangolo V« genera i triangoli A..„_i e A 2/l . Per le relazioni stesse quindi la risoluzione 

 della prima equazione fondamentale viene avvicendata con la risoluzione della seconda. Ma 

 troveremo pure delle relazioni, notevoli per la loro semplicità, fra i soli elementi dei trian- 

 goli e fra i soli elementi degli antitriangoli, per le quali ciascuna equazione acquista una 

 risoluzione autonoma. 



La proprietà dell' insieme dei punti razionali della cubica (7), di essere addensato in 

 ogni arco della curva stessa ( 17 ), sarà estesa facilmente all'insieme dei punti razionali 

 della quartica (6), e permetterà di dimostrare l' esistenza d' infiniti triangoli di Fermat pro- 

 priamente delti, e d' infiniti triangoli torricelliani, cioè soddisfacenti alle tre condizioni del 

 problema di Torricelli. 



Stabilendo in fine un criterio per riconoscere se un triangolo ed un antitriangolo ge- 

 nerano un triangolo torricelliano, e spingendo i calcoli sino alla determinazione di A s e y e 

 conchiuderemo che il primo triangolo torricelliano della successione è Ai 2 ; esso è anche 

 il triangolo torricelliano di minima ipotenusa , la quale per altro è data da un numero di 

 165 cifre. 



1 triangoli rettangoli 

 soddisfacenti alla condizione 6) del problema di Torricelli. 



4. Son note e si stabiliscono facilmente le forinole dei numeri pitagorici, cioè dei 

 numeri interi, primi tra loro, M, P, O che soddisfano alla condizione (equazione pita- 

 gorica) : 



(8) M % = P 2 -f Q 2 , 



e che perciò possono considerarsi come rappresentanti 1' ipotenusa e i cateti di un trian- 

 golo rettangolo. 



( 17 ) Tale proprietà relativamente ad una cubica razionale qualunque, dotata d'infiniti punti razionali, è 

 stata enunciata da H. POINCARÉ I. c. ( 14 ) , p. 173. e dimostrata in duplice modo da B. LEVI, I. c. ( ls ), 

 Nota I. p. 756. 



