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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



Si osserverà in primo luogo che i numeri P e Q non possono essere entrambi di- 

 spari, perchè in questo caso il secondo membro (8) sarebbe il doppio di un numero di- 

 spari e non potrebbe essere eguale ad un quadrato. Ed allora, supposto pari P, dalla (8) 



segue 



■ M + Q M - Q ' p\ 2 



u . . M4-Q M—Q 



e se ne deduce che ì numeri — - — e — - — , essendo primi tra loro, devono essere 



eguali ciascuno ad un quadrato. Posto dunque: 



2 2 



ne risulta 



M = A 2 + B 2 , Q = A 2 — B 2 



e quindi 



P = ± 2AB . 



Inversamente , si verifica subito che qualunque siano i numeri interi relativi A e B, 

 di parità diversa e primi tra loro, le precedenti espressioni per M, P, Q costituiscono una 

 soluzione primitiva , cioè con numeri primi tra loro, dell' equazione pitagorica (8). 



L'ipotesi A = dà M=B 2 , Q= — B 2 , P—0, e perchè la soluzione sia primi- 

 tiva si deve assumere i? = + 1 ; si ottiene così il triangolo degenere: 



M = 1 , Q = 1 , P — . 



Supponendo invece B — si ha 



M = 1 , = 1, P = . 



Non si altera la generalità assumendo A non negativo, anzi in tal' ipotesi, com'è fa- 

 cile riconoscere, a coppie diverse di valori per A e B corrispondono sistemi differenti di 

 numeri pitagorici. Adunque ( 18 ): 



Tutti i sistemi di numeri pitagorici sono dati dalle formole : 



(9) M — A 2 f B 2 , r=2AB, Q— A' — B\ 



essendo A un numero intero non negativo qualunque, B un numero intero rela- 

 tivo qualunque, primo con A e di parità diversa da quella di A. 



( 18 ) DlOFANTO. opera t. i, Leipzig a. 1893, p. 90. PITAGORA aveva indicato le soluzioni particolari 

 della forma : 



M= ir + (» -f- i) 2 , P= 211 (« -T- 1) , 5 = 211 + 1, 

 che si deducono dalle (9) assumendo A—n, B = n + i, per n intero qualunque; e PLATONE le soluzioni 

 particolari [A = «, S = x) : 



M— u* + 1 , P— 2>i , = « ! — 1 ; 

 cfr. PROCL1 Diadochi in primum Euclidis e lenien torimi librimi commentarti, Leipzig, a. 1873, p, 428-9. 



