I triangoli dì Fermai e un problema di Torricelli 



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11 numero M risulta sempre positivo, P dello stesso segno di B, e Q positivo o ne- 

 gativo secondo che A è maggiore o minore di [ B |. 



Per rappresentare geometricamente il triangolo corrispondente ad un sistema (9) di 

 numeri pitagorici, tenendo anche conto dei segni dei cateti, basta riferire i punti del piano 

 ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, ed assumere come vertici del triangolo 

 i punti di coordinate : 



(0,0), [2AB,0), (2 AB, A 2 - B*) . 



5. Volendo ora ricercare i triangoli soddisfacenti alla condizione b) del problema di 

 Torricelli, cioè tali che la somma dei cateti P, Q sia un quadrato, conviene, più ge- 

 neralmente, ricercare quelli pei quali la somma (algebrica) P 4- Q sia eguale in valore 

 assoluto ad un quadrato : 



\P+Q\ = S\ 

 Ma basterà evidentemente ricercare i triangoli pei quali è 



(io) p + q = &\ 



perchè gli altri si ottengono da questi cambiando il segno tanto a P che a Q, ossia cam- 

 biando A in | B | e B in —A. 



I triangoli che soddisfano a questa condizione e pei quali inoltre P e Q sono entrambi 

 positivi, si diranno del tipo ellittico, gli altri pei quali P e Q sono di segno contrario, 

 del tipo iperbolico. 



La condizione (10) per le (9) diventa 



2 AB 4- 4 2 — B- — S s , 



quindi 



(A + B -f S) (4 + B — S) = 2B\ 

 Supposto B =U se ne deduce 



A A- B 4- S 2B 



AA-B — 5 



e pero 



A 4- S B — A 



B BAr A — S 



u 



Denotando con — il valore comune di questi due rapporti , essendo u , c numeri 

 primi tra loro e v > 0, si deduce 



A — i> v — 



B v + u ' 



e quindi 



A //- -\- v'- S u~ Ar 2uv 



B ' ' 2v(hA-v) ' B ' 2v(u-\-v) 



