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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



Supponiamo in primo luogo che u e v siano entrambi dispari. 



Allora — (u 2 -f- v 2 ) e v (u ~\-v) sono primi tra loro. Infatti, se questi due numeri am- 

 mettessero un divisore primo comune, questo sarebbe dispari perchè tale è — (u 2 -j- v 2 ), 

 e dovrebbe dividere v (u -)- v) (u — v) ossia v {u 2 — v s ) , e quindi u 2 — v 2 assieme ad 

 u 2 -f- v 2 , ma allora dividerebbe Ili 1 e 2v i , e ciò è assurdo. Pertanto, essendo anche A 

 e B primi tra loro ed A > 0, dalle ultime eguaglianze si trae : 



A = — (« 2 4- i; 2 ) 



(11) • B = v (u -f «) 



I S = -i- (w 2 + 2mv — t> 2 ) . 



Considerando infine il caso che u e t> siano di parità diversa, si dimostra come sopra 

 che u 2 ~\- v 2 e 2v (u -f- v) sono primi tra loro, e perciò si ottengono le forinole 



/ A — u z + v' 1 

 5 = 2v {il -f 



2»x; — z^ 2 . 



Si riconosce però subito che ogni triangolo dato da queste forinole con // e v di pa- 

 rità diversa, si può anche ottenere dalle forinole (11) per valori dispari di u, V. Conside- 

 rando infatti un triangolo dato da A e B per valori di n e v di parità diversa, e posto 



//, — v — u , i) t = v -j- « , 



ìi t e v i risultano entrambi dispari, e denotando con A i e B { i valori che si ottengono 

 per A e B, mediante le (11), cambiandovi // in u t e v in v k , si ha 



.4, = -f («? + zfi = 4- [ - u) 2 + + «)*] = /r + x> 2 = 4 , 

 5, = t/, («, + ©,) = 2^; (« -f- = # , 



e però il triangolo è anche dato da A { e B { con le forinole (11). 

 Se poi è 5 = 0, allora si ha 



M— 1 , p = o, 0=1; 



la condizione (10) è soddisfatta , ma il triangolo (degenere) non può dirsi nè del tipo el- 

 littico nè del tipo iperbolico : lo diremo del tipo parabolico. Esso si ottiene pure dalle (l 1) 

 assumendo v= l e h = — 1. 



