/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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È infine da notare che le (11) per coppie diverse di valori (dispari) di u e v dànno 

 triangoii distinti. Infatti, essendo 



A =■ —{u^ 4- v s ) , B = v(u -f- v) , S = ~(« 2 -(- 2#v — v 2 ) , 



ii' = — (u"~ -f~ t/ 2 ) , = v' («' -}- «;') , S' = — (»' 2 -f- 2«V — z;' 2 ) , 



se il triangolo definito da A, B coincide con quello definito da A', B', deve aversi A = A\ 

 B = B', e però 2 A -f 1B = 2J' + 25' ossia 



w 2 -|- 2wz; -f" 3v~ = u' 2 -j- 2u'v -f~ 3x/ 2 . 

 D' altra parte, dovendo essere S = + S', si ha 



ir -J- 2uv — v 2 — -- + («'* -f" 2«V — v l ) , 



e si trae o 



v- = x/ 2 oppure (?/ -f- i>) 2 = 2z/ 2 , 



ma la seconda eguaglianza è manifestamente assurda, e la prima, essendo v e ?>' positivi, 

 dà v = v, e quindi, poiché B = B', è pure /< — ti . 



Esprimendo per u e v, mediante le (11), gli elementi M, P, Q del triangolo, dati 

 dalle (2), si conchiude : 



Le forinole 



ÌM = -f [(« 2 + t; 8 ) 2 + Av%n + t;) 2 J 

 Q = — [(w 2 + v 8 ) 8 — 4<y 2 (« -f a) 2 ] 

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danno tutti i triangoli soddisfacenti alla condizione (10), ciascuno una sola volta, 

 quando si assumono per u, v valori interi, dispari, primi tra loro, v positivo ed 

 u positivo o negativo. 



6. Diremo che un triangolo, del tipo ellittico o iperbolico, è di T x specie se | P | > [ Q \ , 

 di 2 a specie se | P\ < | Q | . 



Ricerchiamo le relazioni che devono intercedere tra u e i; perchè il tringolo sia ellit- 

 tico o iperbolico, e di l a o di 2 a specie. 



Poniamo 



u 



V ' 



e teniamo presenti le (12). 



Perchè P sia positivo occorre e basta che sia x > — 1. Se questa condizione è sod- 

 disfatta, perchè Q risulti positivo è necessario e sufficiente che si abbia 



(x 2 4- 1 ) 2 — 4(.r 4- 1 ) 2 > 



