I triangoli di Perniai e un problema di Torricelli 



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I valori approssimati, con quattro cifre decimali, dei numeri 

 f , f , g , g 



sono rispettivamente 



0,4142, 2,4142, —0,6933, 5,5217. 



Essendo 



- 1 < g < f < f < g 



si conchiude : 



Un triangolo è del tipo ellittico se è 



m 



— 1 < x < / oppure x > /' , 



e di l 2 - specie se 



g < x < / oppure ./' < x < g , 



di 2* specie se 



— 1 < x < g oppure x > g . 



È invece del tipo iperbolico, e di l à o di 2* specie secondo che si ha 

 f < x < / o r < - l . 



1 triangoli di Feriuat e il gruppo ciclico r. 



7. Chiameremo triangolo di Fermat (in senso lato) un triangolo rettangolo in nu- 

 meri interi (primitivo), la cui ipotenusa M sia un quadrato, e i cateti P, Q soddisfino alla 

 condizione (10). 



E diremo triangolo torricelliano un triangolo soddisfacente alle tre condizioni del 

 problema di Torricelli (art. 1), ossia un triangolo di Fermat del tipo ellittico (art. 5), sod- 

 disfacente alla condizione che la somma dell' ipotenusa e del cateto maggiore sia un 

 quadrato. 



Se dunque un triangolo di Fermat del tipo ellittico (e però P e Q positivi) è torricel- 

 liano, dovrà essere soddisfatta V una o 1' altra delle due condizioni : 



M-\-P eguale ad un quadrato, M -j- Q eguale ad un quadrato, 



secondo che P è maggiore o minore di Q. Ora la 2 a condizione non può essere soddisfatta, 

 perchè dalle (9) risulta che Al -j- Q è uguale al doppio di un quadrato ; mentre la l a con- 

 dizione lo è sempre perchè 



M -f P— (A + Bf. 

 Pertanto alla terza condizione del problema di Torricelli può sostituirsi l'altra 



p > Q, 



cioè che il cateto pari sia maggiore del cateto dispari. Adunque : 



/ triangoli torricelliani sono i triangoli di Fermat del tipo ellittico e di 

 / a specie. 



