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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



8. Siano M, P, Q V ipotenusa e i cateti di un triangolo di Fermat. Saranno allora 

 soddisfatte le condizioni 



quindi, posto 



e notando che 



si ottiene 



M = P 1 , P + Q — S ì ; 

 T=P-Q, 



2 (P 2 + Q*) = (P + 0) 2 + (/ J - 0) 2 , 



2# 4 - s x = r . 



cioè i numeri P, S, T devono soddisfare all' equazione fondamentale (l). Ottenuta una 

 soluzione P, S, T di questa equazione, si ricavano per M, P, Q le espressioni : 



M = P\ P = - 2 - (S 2 -f T) . Q = ~ (S 2 - T) , 



ma perchè P risulti pari bisogna assumere T positivo o negativo secondo che il suo va- 

 lore assoluto sia congruo a — 1 o a 1 secondo il mod. 4. 

 Una soluzione dell' equazione fondamentale è 



P = l , S = 1 , T = — 1 ; 



essa fornisce il triangolo di Fermai del tipo parabolico 



M= l , P = . Q [ = l . 



Vedremo in seguito che da questo si possono dedurre tutti gli altri. 

 Se introduciamo la condizione M — P 2 nella prima (12) si ottiene 



(n~ -f- v-f + 4r*(w 4- i')- — 4i? 2 . 



Posto quindi 



(13) .v = — , y — + — , 



v — ir 



si ha 



(.v 4 4 1)' 4" 4(.v 4- i) 2 =y 



o anche 



(14) .v 4 . 4- 6.v 5 4- 8* + 5 = / . 



La ricerca di tutti i triangoli di Fermat è così ricondotta alla risoluzione , in numeri 

 razionali , di questa equazione. Una soluzione razionale (x, y) di essa si dirà di /* o di 



