I triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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2* classe se , posto x sotto la forma — , con u, v interi primi tra loro, risultano u, v 



entrambi dispari o di parità diversa. 



Tutte le soluzioni di 2 a classe si ottengono facilmente da quelle della prima : basta 

 osservare che se (x, y) è una soluzione razionale della (14), si ottiene un'altra soluzione 

 razionale di questa, ma di classe diversa, cambiando x, y in 



1 — x 2y 



1 -f- X ' l + X 



Alle soluzioni di 2 a classe non corrispondono triangoli di Fermai differenti da quelli 

 forniti dalle soluzioni di l a classe (art. 5). 



L'equazione (14), nel piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, 

 rappresenta una curva del quart'ordine, che diremo quartica base. Essa è costituita da 

 due rami simmetrici rispetto all' asse delle x, ciascuno situato tutto da una banda del 

 detto asse. 



Ad un punto {XQ,y^\ di questa curva ne possiamo far corrispondere un altro (x' , y' ) 

 che diremo associato al primo, considerando l'ulteriore intersezione (al finito) della curva 

 con la parabola del fascio 



(15) y=z X * — 2% + l , 



passante per il punto (x ,y )- Eliminando infatti y tra questa equazione e la (14) si ot- 

 tiene 1' equazione di 2° grado in x : 



(16) (S -j- l)x~ + 2x -(£ 2 - 5 - 1) = 0, 



potendosi escludere, come più sotto vedremo, l'ipotesi £'=r — J. 

 Pertanto è 



essendo 



so — y (xl -f 1 — V ) , 



e pero 



' - • 4 ,_ n 



x — .v „ 2 j_o> 3V — - v o r x o - v o • 



.1 o \\ -f o 



Devesi notare che se (x, y) e un punto di 1" classe, tale è anche l'associato (.v', v ) 

 Infatti, si deduce allora, tenendo presenti le (13), che //, v sono entrambi dispari e 



T (« 2 + «fi + * 



5 = i s , 



v~ 



- x n 



So 



