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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



e poiché il numeratore è pari e il denominatore è dispari, si deve porre 



(17) ^T' 



essendo £ 2 dispari e primo con . Se ne deduce : 



, u (25, + £,) + 2«5, 



«(2^+5 



ed essendo i termini della frazione entrambi dispari resta provato 1' asserto. 



Potendo limitarci a considerare sulla quartica soltanto i punti di prima classe, resta 

 in particolare esclusa l' ipotesi z = — 1 . 



9. Denotiamo con <E> 1' operazione che fa passare da un punto (x, y) della quartica 

 al punto associato (x, y'), e che perciò è definita dalle relazioni (art. 8) : 



A 



y = y -j- x' 2 — x 2 . 



x>- y + 3' 



Denotiamo inoltre con Q 1' operazione che porta il punto (x, y) nel punto (x, — y) 

 simmetrico rispetto all' asse delle ascisse. Evidentemente $ e Q sono operazioni di 

 2° grado: 



O 2 = 1 , Q 2 = l . 



Si ponga ora 



W = Q$ . 



L' operazione W fa passare dal punto (x, y) della quartica al punto (x, — y), e, come 

 vedremo, non ha un grado finito, e perciò applicata ad un punto razionale della quartica, 

 dà, per iterazione, quanti punti razionali si vogliano di questa. 



Partiamo dal punto 



•v» = — 1 , y = —2 , 



che corrisponde all'ipotesi u— — l, v= 1, e dà il triangolo di Fermat di tipo parabolico, 

 già considerato (art. 8); e poniamo per ogni u intero positivo: 



(x n , y„) = f (•*„_! , v„_,) , 



cosicché x n , y n si ottengono mediante le formole di ricorrenza : 



,i8) j x '= ~ x - 1 ~ -*u=^r* 



