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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



— y n +i + 3) (x 2 n+I -f y nU + 3) = -f 3) 2 — yin == 

 = (*ì + , + ó.4 +1 + 9) - -f- 6x„ fl -j- 8x w+] + 5) — — 8x„ fl + 4 



risulta 



4 4 8v„ +1 2y n¥l 



*S + i — y w+] + 3 -h v„ +1 +3 — 8x n+ì 4 4 2.r a+1 — 1 



4 4 



+ + 3 — % + 3 



, 



e se ne trae la (19). 



Effettuando i calcoli si ottiene 



3 ' y * ~ 9 ' 



55 3 050 



3 ' '* ~~ 9 ' 



_ 2 071 _ 4 330 034 



X *~ 113 ' - Va ~ 113 2 ; 



104 441 __ _ 84 844 905 938 



Z ' 4 ~ 151 759 ' y * ~~ 151 759 2 



I quadrati delle metà dei numeratori delle frazioni irriducibili che esprimono le y sono, 

 per la seconda (13), le ipotenuse dei corrispondenti triangoli di Fermat. 



Denotando con A,, il triangolo corrispondente a (x n , y„), si ottiene la successione dei 

 triangoli 



Ao , A, , A 2 , . . . , A„ , . . . 



Uno studio ulteriore delle forinole (18) ci permetterà di dimostrare che i triangoli della 

 successione così ottenuta sono tutti i triangoli di Fermat, e che nella successione stessa 

 essi risultano ordinati per valori crescenti delle ipotenuse. 



Per conseguenza, operando sul punto (x , y ) della quartica (e quindi su di un punto 

 razionale qualunque,"di l a classe, di essa) con le operazioni del gruppo ciclico T generato 

 da T: 



ijr— n »jr— 2 vj) 1 — i \jr» \jr y2 vjr» 

 si ottengono tutti i punti razionali, di l a classe, della quartica stessa. 



