/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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Forinole di V. A. Lebes^ue. Esistenza d'infiniti triangoli torricelliani. 



10. Vediamo come deve assumersi il parametro razionale c nel fascio di parabole (15) 

 perchè le intersezioni di queste con la quartica siano punti di l a classe. 



Le ascisse dei punti d' incontro di una qualunque di queste parabole con la quartica 

 sono le radici dell'equazione (16), e però, essendo esclusa l'ipotesi ej = — 1 (art. 8), 

 si ha : 



5+1 ' 5+1 



Perchè dunque i detti punti d' incontro siano razionali occorre e basta che £ 3 — 2£ 

 sia il quadrato di un numero razionale. La ricerca dei punti razionali della quartica è 

 così ricondotta alla ricerca delle soluzioni razionali della cubica 



(20) f - 2? = C 

 Si noti che si ha 



Z l - ì = (5+ 0(5* - 5 -1), 



e perciò l' ipotesi Z = + 1 non può presentarsi con un valore razionale di £ se non è 

 S = — 1, ciò che si esclude. 



Pertanto i punti della quartica, corrispondenti ad una soluzione (£, Z) della (20), sono 

 dati dalle forinole : 



[ _ Z — 1 [ , _ - C - 1 



(21) "-5+1 (22 ) )*- 5+1 



( jy = x- — 21 + i ( y = x' 2 — 25+1 



o anche dalle forinole 



/ _ r - ? - 1 / , _ r - 5 - 1 



" ~ 5 + 1 C-l 

 (23) ^ (24) 



( y =_(|+i)_^-i ( y = -(|+l)-?|_£_i. 



11. L'equazione (20), nel piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane or- 

 togonali (5, C) , rappresenta una cubica composta di due rami, definiti dalle condizioni 



(25) - 1/~2 < ? < , ? > + Ì~2 , 



di cui, per conseguenza, il primo è finito , chiuso, tangente nell' origine all' asse delle Z, 

 formato da due archi simmetrici rispetto all'asse delle congiungenti i punti di quest' as- 



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