/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



L9 



Supponiamo ora E < 0. Posto £ = — sarà < £ <^ ^ 2 . 

 Sia C> 0. Da (21) e (23) si deduce 



^ g- 1 = S' 2 + g - 1 

 * 1 - ^ C + 1 



Il numeratore della prima frazione è crescente (art. 11) quando va da a |/— , 



mentre il denominatore decresce, quindi x è crescente; quando £' va da j/— a Ì 2 , C de- 

 cresce e dalla seconda frazione si deduce che x continua a crescere. Pertanto, quando £' 

 va da a |' 2 , oc cresce e va da — L a t -f- V 2 . 

 Se 'C = — Z', si ha 



Dalla prima frazione si deduce che quando £' cresce da a [/— , poiché allora £' 



' 3 



è crescente, ce decresce ; e quando cresce da I/ — a 1 , poiché allora C è decrescente 



3 



e tende a 1, dalla seconda frazione si deduce che x continua a decrescere e tende a — co . 

 Adunque se % cresce da a 1 , x decresce da — 1 a — oc. 



Finalmente , quando k va da 1 a f 2 , dalla prima frazione si deduce che x decresce 

 da +oo a 1 + fT . 



Ed allora come sopra si conchiude : 



'2 — Quando il punto (£, Z) descrive con continuità il ramo chiuso della cubi- 

 ca , i corrispondenti punti (x, y), (x', y') della quartica descrivono con continuità, 

 ma in senso inverso, il ramo della quartica situato sul semipiano positivo (y>0). 



13. Poiché due punti razionali della quartica, simmetrici rispetto all'asse delle x , 

 danno uno stesso triangolo di Fermat, potremo considerare soltanto i punti razionali del 

 ramo della quartica che si trova sul semipiano positivo, punti che, come abbiamo notato 

 nell'art, precedente, corrispondono all' ipotesi £ <T ; oppure potremo considerare soltanto i 

 punti razionali dell' altro ramo , corrispondenti all' ipotesi £ > 0. Noi faremo qui quest' ul- 

 tima ipotesi che ci permetterà di ottenere subito le forinole di ricorrenza segnalate da 

 V. A. LeBESGUE per la determinazione di tutte le soluzioni dell' equazione fondamentale, 

 e, per conseguenza , di tutti i triangoli di Fermat. 



Potendo poi limitarci a considerare i punti di l a classe, £ deve avere la forma (17) , 

 e però 



25 



e -_2± 



~ 5 



essendo S 19 5 2 numeri interi positivi, e £ 2 dispari e primo con Allora si ha 



