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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



e perchè il secondo membro risulti eguale al quadrato di un numero razionale , tanto il 

 numeratore che il denominatore, che sono primi tra loro , devono essere eguali al qua- 

 drato di un numero intero, e lo stesso deve dirsi di e, e 2S 2 — %\ , che sono pure primi 

 tra loro. Si deve dunque porre : 



t r ì E _ 2 & — c 2 — i 2 



con r , s , l numeri interi ; ma 1' ultima eguaglianza allora diviene 



2r * _ 5 4 _ f f 



cioè i numeri , s , / devono costituire una soluzione dell' equazione fondamentale. 



Inversamente, se [r, s, l) è una soluzione (in numeri interi, primi tra loro) dell'equa- 

 zione fondamentale, r, s, t saranno certamente numeri dispari , e si ottengono due punti 

 di l a classe della quartica ponendo in (21) e (22): 



, _ _ 2r 2 _ -Ivi 



s % ' s 3 



Si ottiene 



(26) 



b _ — s 3 -f 2rt 



s 



/ _ (- s 3 + 2r/) 2 -(4r 2 -s 2 )(2r 2 + s 2 ) 2 



S 2 (2r » _i_ c 2^2 



le quali, dopo avere osservato che si ha 



— 5 3 + 2/7 — 2r (rs + /) — 5 (2r s + s 2 ) , 

 (27) J ( -s 3 +2r/) 2 - (2/- 2 — s 2 ){2r 2 -\-s 2 ) 9 = (— s 3 +2/'f) 2 — (4r 4 — s 4 )(2r 2 +5 2 ) = 

 ( = ( - s »-|-2 r /) 2 -(2^-f5 4 )(2;' 2 +5 2 ) = -25 ! (;-6-+0 2 , 



possono mettersi sotto la forma : 

 (28) 



s(2;- 8 -j-s 3 ) 



2s 2 (rs + /) 3 + 2r 2 (2r 2 + s 2 ) 2 



s 2 (2/- 2 -f s 2 ) 2 



Cambiando ^ in — / si ottengono le formole relative al punto (a?', y') associato a 



2r(rs — t) 

 s(2r* + s l ) 



(29; 



2s 2 (rs — tf + 2r 2 (2r 2 + 5 2 ) 2 

 s 2 (2r 2 -f s 2 ) 2 



