/ triangoli di Ferma/ e un problema di Torricelli 



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e si diranno generati dal triangolo A (r, s, t), ed associati tra loro , il primo d' ordine 

 pari, il secondo d'ordine dispari. 

 Dalle (31) e (36) segue 



R ^ r 2 , R ^ f l . 



L' eguaglianza non può aver luogo se non è rs-\~t — nel primo caso, rs — / = 

 nel secondo, ma allora, in virtù di (32), si riconosce che in entrambi i casi è 



r 2 = s 2 = f = 1 , 



e però il triangolo generatore è il degenere A , il quale effettivamente genera sè stesso e 

 un triangolo d'ipotenusa eguale a 13 2 , già denotato con A 4 nell'art. 9. Adunque: 



'1 — // triangolo del tipo parabolico A genera sè stesso e un triangolo A, 

 d' ipotenusa maggiore ; ogni altro triangolo ne genera due distinti le cui ipotenuse 

 superano il quadralo dell' ipotenusa del triangolo generatore. 



Per conseguenza : 



'2 — Esistono infiniti triangoli di Fermai. 



Convenendo che dei due triangoli associati A e A; sia d' ordine pari il primo, ricor- 

 dando che allora dev' essere S = — 1 e T = 1 (mod. 4), è da porre 



A c = A(l, — 1, 1) , ossia r = 1 , s = — 1, t — 1 , 



e quindi 



A 4 = A(13, — 1 , 239), ossia r, = 13 , s, = — l, t l = 239 . 



11 triangolo A t genera due triangoli A 2 e A 3 (cfr. art. 9) : 



A, =. A (1525, 1343, 2 750 257), 

 A 3 = A (2 165 017 , 2 372 159, — 3 503 833 734 241). 



e poiché r 3 <C r li sono questi ì triangoli di Fermat di minima ipotenusa dopo A e A r 

 Si riconosce facilmente che 



A, è del tipo iperbolico, e di l a specie 

 A 2 a 



A 3 „ ellittico „ „ „ (e però non torricelliano). 



I calcoli per la determinazione dei triangoli successivi in base alle forinole (31) e (36) 

 di Lebesgue sono laboriosissimi, sia perchè gii elementi /', s, l diventano presto molto 

 grandi, sia perchè occorre effettuare il calcolo dei massimi comuni divisori d, d'. A tale 

 inconveniente sarà rimediato con un perfezionamento delle forinole di Lebesgue, che colle- 



