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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



gando la risoluzione della l a equazione fondamentale con quella della 2 a , ci permetterà di 

 ordinare la totalità dei triangoli di Fermat , e di dimostrare L' identità della successione 

 che così si ottiene, con quella generata dalle potenze di esponente intero non negativo del- 

 l' operazione *F (art. 9). 



15. Dalla prop. "2 del precedente art. segue subito l'esistenza d' infiniti punti razionali 

 della cubica base (20) sia sul ramo chiuso che sul ramo aperto. Vogliamo ora stabilire 

 una proprietà importante dell'insieme di questi punti (cfr. art. 3 e nota 18 )), dalla quale ci 

 sarà possibile dedurre l' esistenza d' infiniti triangoli di Fermat propriamente detti (cioè del 

 tipo ellittico) e d' infiniti triangoli torricelliani. 



'1 — L' insieme dei punti razionali della cubica base è addensato in ogni arco 

 della cubica, ossia ogni punto della cubica è pillilo limite dell' insieme dei punti 

 razionali di essa. 



Basterà dimostrare la proprietà per il ramo chiuso della cubica, perchè essa allora 

 avrà luogo, di conseguenza, per il ramo aperto. 



Denotiamo con J l' insieme dei punti razionali situati sul ramo chiuso, e dimostriamo 

 innanzi tutto che un punto qualunque A di J è punto limite di J. L' insieme J , infatti, 

 ammette almeno un punto limite : sia L un tal punto ed M 1' ulteriore intersezione della 

 retta AL con la cubica. Se B è un punto razionale tendente ad L, l'ulteriore intersezione 

 C della retta AB con la cubica è un punto razionale tendente a M, quindi M è un punto 

 limite di punti razionali : ed allora, poiché la retta LM congiunge due punti limiti di punti 

 razionali, 1' ulteriore intersezione di essa con la cubica, cioè A, è manifestamente un punto 

 limite di J. 



Dimostriamo ora che un punto limite qualunque H di J è tale tanto da un lato che 

 dall' altro di esso. 



Ammettiamo infatti, per contrario, che da un lato di H esistano punti D tali che 

 negli archi HD non cada alcun punto di J : sia HK 1' arco estremo superiore degli archi 

 HD. Il punto Kb manifestamente un punto limite di J dalla parte dove non sono i punti 

 D. Sia E un punto razionale tendente a K, ed F l'ulteriore intersezione della retta HE 

 con la cubica: F è un punto limite di punti razionali. Il raggio FK incontra la cubica 

 ulteriormente in un punto G del ramo chiuso, e sarà G un punto limite di J. Quando E 

 tende a K, F tende ad L, e il raggio FK tende ad LK, quindi G tende ad H, e poiché 

 G resta sempre dalla parte della retta HE dov'è K, esso tende ad H dalla parte dei punti 

 D, ma allora nell' arco HK, sopra considerato, cadrebbero infiniti punti di J, e ciò è in 

 contraddizione con 1' ipotesi. 



Sia ora N un punto qualunque del ramo chiuso. Se N non fosse punto limite di J, 

 esso sarebbe contenuto in un arco che non ammette, nel suo interno, alcun punto di /, 

 e 1' arco estremo superiore degli archi aventi tale proprietà , avrebbe , per estremi , punti 

 limiti di J soltanto da un lato, e ciò è assurdo. 



Adunque ogni punto del ramo considerato è punto limite di punti razionali. 



Dalle prop. 12 '1 '2 allora segue che 



■'2 — Ogni punto della quartica base è punto limite dei punti razionali di essa. 



E poiché, come abbiamo visto nell'art. 12, quando il punto descrive un ramo 



della cubica, le ascisse x, x dei corrispondenti punti della quartica prendono qualsivoglia 

 valore reale, positivo, nullo o negativo, si conchiude, in base ai risultati dell' art. 6, che- 



