/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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ed esso è di / a o di 2* specie secondo che è soddisfatta la prima o la seconda 

 condizione. 



Volendo indicare brevemente il carattere di un triangolo, cioè il tipo e la specie in- 

 sieme, adoperiamo i simboli E, I secondo che il triangolo è del tipo ellittico od iperbo- 

 lico, e diamo ai simboli stessi l' indice 1 o 2 secondo che il triangolo è di l a o di 2* 

 specie. 



Ordinando allora per valori crescenti i punti 1, F, F', G, G', e segnando corrispon- 

 dentemente i caratteri che hanno i triangoli generati da A (r, s, t) quando il rapporto 

 r: \s\ cade in ciascuno degl'intervalli consecutivi determinati dai detti punti, otteniamo 

 il quadro 



F G l F' G' + oo 



0,8404 0,8778 2,0501 4,0488 



EJ t EJ, IJ t EJ % E 2 I 2 



dove per maggiore comodità sotto i punti F, G, ... abbiamo segnato i loro valori appros- 

 simati con quattro cifre decimali. 



Per conseguenza due triangoli associati non possono essere entrambi del tipo ellittico, 

 possono essere entrambi del tipo iperbolico, ma di specie diversa. 



Ulteriori considerazioni ci permetteranno di determinare il carattere di ciascuno dei 

 triangoli associati in corrispondenza all' ordine di essi. 



Si noti che la 2 a (39) è soltanto soddisfatta allora e solo quando il triangolo à(r, s,t) 

 è del tipo ellittico, dunque : 



'3 — Un triangolo di Fermat del tipo ellittico genera sempre uno ed un solo 

 triangolo di Fermat del tipo ellittico. 



La prop. inversa non è vera: ad es. A 3 è del tipo ellittico ed è generato dal trian- 

 golo A 4 del tipo iperbolico. 



Risoluzione della seconda equazione fondamentale come conseguenza della minia, 



ed inversamente . 



17. Abbiamo già osservato (art. 13) che l'ipotesi £ <0 non può dare triangoli di 

 Fermat diversi da quelli che si ottengono supponendo £>0; ma l'ipotesi \ <0 merita 

 di essere pure considerata perchè, come vedremo, essa permette di esprimere le soluzioni 

 della seconda equazione fondamentale pei' quelle della prima, e reciprocamente, fornendo 

 così delle relazioni utilissime, e notevoli anche pei risultati inattesi cui conducono per la 

 risoluzione indipendente delle due equazioni. 



Poniamo dunque ora \ — — con % > 0. Poiché possiamo, al solito, limitarci alla 

 considerazione dei punti della quartica base che sono di l a classe, c' deve avere la for- 

 ma (17): 



