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Michele Cipolla 



[Memoria XI.] 



essendo % { un numero intero non negativo, e \, un numero intero positivo dispari e pri- 

 mo con Allora dalla (20) risulta 



45, (8 - 25) 



6 



e poiché il denominatore è primo col numeratore, e 5, è primo con £f — 2^?, se ne deduce 

 che £ M £ s e Zi— 2$ devono essere quadrati di numeri interi. E dunque da porre 



;t — v i C2 -ci — L 



Ma 1' ultima in virtù delle prime due diviene 



e però i numeri p, a, x devono costituire una soluzione (intera) della seconda equazione 

 fondamentale. 



Inversamente, se (p, a, t) è una soluzione dell' equazione in discorso, e si pone 



2o 2 2ox 



6 F' 5 = T' 



al punto razionale (?, Q del ramo chiuso della cubica base corrispondono due punti ra- 

 zionali associati {x, y) (x_ x , y_ x ) della quartica nel semipiano positivo, che son dati, in 

 virtù di (21) e (22), dalle formole : 



2o(po — x) ( 2o(po + t) 



l-*- p(p s_2o») l-*- 1 p(p«-2o») 



(42) (43) 



f _ 2p 2 (po — x) 2 -|- 2o' (p 2 — 2Q 2 ) 1 / _ 2p 2 (po + T) g + 2o»(p 2 — 2o^ 



p2 (p2 _ 2 o 2 ) 2 l 3 '- 1 - p»(p»_2o«)». 



A questi punti corrispondono gli stessi triangoli di Fermat che ai punti (x, — y) ,. 

 (x_i , — y~i). Tali triangoli si diranno associati negativamente (cioè in base alla condi- 

 zione £ < 0). 



Poiché, come risulta dalla (16), il valore di % è pienamente determinato dalla somma 

 delle ascisse di due punti associati, risulta chiaro che due triangoli associati negativamente 

 non possono esserlo positivamente (cioè, nel senso dell' art. 13, in base alla condizio- 

 ne e > 0). 



Due triangoli associati negativamente non possono coincidere se non è, come risulta 

 dalle (42) e (43), 



o = 0, e però p 2 — t*' — 1 , 



non essendo ammissibile l'ipotesi x = 0. Ne segue che il punto ( — 1, 2) è associato a sè 

 stesso, e il corrispondente triangolo A, è l' unico che sia associato negativamente a sè 

 stesso. 



