/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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Se (p, a, t) è una soluzione della 2 a equazione fondamentale, noi diremo, per ragion 

 di analogia, che i numeri p, a, i costituiscono un antitriangolo, che denoteremo con 

 V(p, a, t). Assumeremo p sempre positivo, e ci riserviamo di fissare più sotto i segni 

 di a e t. 



I due triangoli corrispondenti ai punti della quartica (.v, v), (x_ x , v_,) dati dalla 

 soluzione (p, a, x) mediante le formole (42) e (43), "si diranno generati dall' antitriangolo 

 V(p, °, 



18. Prima di procedere oltre nello studio delle soluzioni della 2 a equazione fondamen- 

 tale, è opportuno eseguire una ricerca analoga a quella fatta nell'art. 16, avente cioè lo 

 scopo di determinare le condizioni cui devono soddisfare p e a perchè 1' antitriangolo 

 V (p> °» ~) generi un triangolo ellittico o iperbolico, di l a o di 2 a specie. Qui è da consi- 

 derare la radice negativa — £' dell' equazione (38), quindi 



- 1) + j (x>+ 4 (x + 2g 



? 2 



Denotando con % a il valore di % corrispondente al valore a di x, abbiamo (cfr. art. 16): 



^=3^-7-4, = fT, 



% = (2+ [ 2-2 |/T+^) (|/4+2l/2 -F 2 - l), aV=(2+l'2 + 2|/T+?2)(|/4T2^-l 2-l) . 



Ciò posto, ricordando (art. 12) che, se Z > 0, quando % va da a f 2 , x cresce e va 

 da — 1 a 1 — | — V 2 , e se Z < 0, quando ; va da a 1, x decresce e va da — 1 a — 00, 

 e quando va da 1 a \ 2 , x decresce da -f-oo a 1 — | — K 2 , si deduce, tenendo presente 

 il risultato dell'art. 6, che uno dei triangoli corrispondenti al punto ( — Z) è del tipo el- 

 littico se si ha 



l' < % oppure 1 < £' < É> 

 e del tipo ellittico e di 1* specie cioè torricelliano, se si ha 



%, < % < % oppure % g , < % < g> . 



Se quindi y (p, a, t) è 1' antitriangolo generatore, essendo allora % = — r , ed osservando 



_ f ? 



che è sempre £' minore di I 2 ossia di £' , posto 



si deduce la prop. : 



- 1 — Perchè tino dei tringoli di Fermat generati da y (p, a, -) sta del tipo el- 

 littico occorre e basta die si abbia 



1 1 



■ — ! < H oppure 



