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Michele Cipolla 



[Memoria XI. 



particolare esse indicano che i numeri d, ci' che si presentano nella determinazione dei 

 triangoli generati da A(/', s, t), sono i primi elementi degli antitriangoli corrispondenti a 

 A (r, s, t), e precisamente: 



P = d'=D (2 r 2 -\-s\ rs — t), p' = ci = D (2r* + s\ rs + t); 



e perciò la 2 a (45) e la 2 a (56) possono anche mettersi sotto la forma 



-, t s -4- t , . rs — ^ 



(61) o = X — ^— , «/= — X — - — , 



e così pure la (48) e la (59): 



_ . 4rs (;- 2 + -S 2 ) - /(2;- 2 -s 2 ) 4rs (r 2 + ^ 2 ) -f *(2/- 2 - s 2 ) 



(62) t = A. 7o , t — — A. 



« 



I numeri p, p' si diranno rispettivamente il 1° e il 2° divisore del triangolo A (r, s, /); 

 e le espressioni 



2i A + s 4 , p 4 + 2a 4 



che hanno un giuoco importante nella ricerca che segue, si diranno rispettivamente la norma 

 del triangolo A (r, s, t) e la norma dell antitriangolo V (p, a, t). 



Considerando ora i triangoli A (A 1 , S, 7"), A (R',S',T) generati da A (r-, s, t)\ e proce- 

 dendo alla determinazione degli antitriangoli corrispondenti ad essi, otterremo delle rela- 

 zioni importanti tra i divisori dei triangoli generati e le norme del triangolo generatore e 

 degli antitriangoli corrispondenti ad esso. In base a queste relazioni perfezioneremo note- 

 volmente le formole per la determinazione avvicendata dei triangoli e degli antitriangoli , 

 e stabiliremo un ordinamento degli uni e degli altri, che esprime nella maniera più sem- 

 plice la loro genesi reciproca. 



23. Procuriamoci innanzi tutto i divisori del triangolo A {R, S, T). In virtù delle for- 

 mole (53) abbiamo con semplici calcoli : 



(63) 2R* + S 2 = ( 2r 4 + s 4 ) (p 4 + 2o 4 ) ; 

 poi, essendo 



RS = (7-y -f sV)(2/-V — s-f) = pW — ;-Vt 2 , 

 in virtù di (64) si ha 



(64) RS - T= (p 2 a 2 - t 2 ) f + /-V (8pV - t 2 ) . 

 Ora, tenuta presente la l a (62), si trae : 



p'<( p V ._ t 2 )= (2 r 2 +s 2 ) 2 (rs+0 2 - 16;^ 



