/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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e raccogliendo i termini che hanno a .fattore comune il prodotto rs, e denotando con U 

 il fattore di questo prodotto, si ottiene 



p'*(pV - t 2 ) = f \(2r 2 + s 2 ) 2 - {'Ir 2 — s 2 ) 2 ] -f rsU-= 8r 2 s 2 t 2 + rsf/, 



ed essendo 



£/=r (2;- 2 + s 2 ) 2 (rs + 2/) - 16>-s(;- 2 + s 2 ) 2 + 8/(/- 8 + s 2 ) (2;- 2 — s 2 ) , 



poiché 



2 ( r " -f s 2 ) 2 = (2r 2 + s 2 ) 2 - (2>- 4 - 5 4 ) == (2r 2 + s 2 ) 2 - l 2 , 



risulta 



U= (2r* + s 2 ) 2 (2/ — 7rs) + 8/(r 2 s 2 + * 2 -f 7-5/) . 

 Analogamente si ha 



p" , (8p 2 o 2 — t 2 )=8(2r 2 +5 2 )(;-5+/) 2 - 16r 2 s 2 (r' 2 +5 J ) 2 +8;-5/(;- 2 +5 2 )(2/- 2 -s 2 )— / 2 (2;- 2 — s 2 ) 2 , 

 e raccogliendo i termini che ammettono il fattore t, si ottiene 



p'4(8pV — x 2 ) — 8rW -{-IV, 



essendo 



F = (2;- 2 + s 2 ) 2 (7/- + 161-5) + 8;- 5 (/- 2 s 2 -f ? + rsf). 

 La (64) quindi diviene : 



(65) p' 4 (^S — T) — 2rstW, 

 avendo posto 



2W = tU+ rsV + 8rst(r 2 s 2 + * 2 ). 



Introducendo ora in questa le ottenute espressioni per U e V si ricava 



W — {2r 2 + s*)*(8rV -f / 2 ) + 4(rV d + t 2 )(rs + /) 2 = 



= (2r* + s s ) , L(-V t + 5 2 ) 2 -2;- 4 - 25 4 +4;-V]+2[(/-5-f ^) 2 +(r5 - t) 2 ](rs -{- 1) 2 = 

 = ( 2r* + s 2 ) 4 + 2 (rs + t)> = P ' 4 ( P 4 + 2o 4 ) ; 



quindi la (65) assume la forma semplicissima 



(66) RS — T = 2/-5/(p 4 + 2a 4 ) . 



Potremo seguire una via analoga per ottenere 1' espressione di RS -f- T per gli ele- 

 menti di A(r, 5, /) e V(p, °, T ) , ma è più semplice dedurre tale espressione da quella di 



