/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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Le espressioni di T e T' si potrebbero ottenere ricorrendo alle (62), ma è più breve 

 ricavarle per via indiretta. L' identità 



(a + b)* - 16(« — bfab = (a 2 b 2 — 6ab) 2 , 



quando si assume 



a = p 4 , b = 2o\ 



dà 



(p 4 + 2o 4 ) 4 — 32p 4 oV = (p 8 -f 4o s — 12p 4 o*) 2 , 



ma il primo membro è uguale a P 4 — 2^*, quindi il secondo è uguale a T 2 . Osservando 

 poi che, in virtù della l a (62) e della (54), essendo X = 1, dev'essere T = — 1 ~ — 1 

 (mod. 4), si deduce 



T = 12pV— p 8 — 4o s = Hp'o 4 — x 4 . 



In modo analogo, quando si pone, nel!' identità considerata, 



a = 2/ A , b = s 4 , 



si ottiene 



(2;- 4 + 5 4 ) 4 - 32/-V/ 4 = (4;" s + s 8 — 12/-V) 2 , 



e poiché il primo membro è uguale a P' 4 — 22 4 , il secondo risulta eguale a T' 2 , ma 

 in virtù della 2 a (62) dev'essere T' = — T= — 1 (mod. 4), dunque è 



T' = l2rV— 4r*— s* = 8rV — t\ 



Riepilogando : 



"1 — // primo e il secondo antitriangolo corrispondenti al triangolo — d' or- 

 dine pari — generato da A(r, s, t) assieme a y(p, o, z) sono dati dalle forinole : 



P = p 4 -f 2o 4 / P' = 2r 4 -f s 4 



72) j S = ~ 2 P ox (73) ^' = Irsi 



\ T = 8pV - x 4 \ T' = 8/'V — t\ 



Poiché, in virtù di queste formole , P, S, T si esprimono soltanto per p, a, x , mentre 

 P', T' si esprimono soltanto per r,s,t, diremo che V(P, S, T) è generato da y(p, a, x), 

 e V (P', T') è generato da A(r, s, t) . 



I detti due antitriangoli si distinguono 1' uno d' altro per il fatto che nel primo è 

 2 =0 (mod. 4), nel secondo è S' = 2 (mod. 4). 



25. Per determinare gli antitriangoli corrispondenti al triangolo d'ordine dispari gene- 

 rato da A(r, s, t) basta notare che il cambiamento di / in — / muta, nelle formole (63), 



