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M. Cipolla 



[Memoria XI.] 



ordinatamente e successivamente i numeri della serie naturale, potremo disporre i triangoli 

 come nel quadro seguente : 



\ 



A 4 A 5 A e A 7 



A v A v ^_, . . A 2v _ 2 A 2v _j 



A^v A 2v -f-i A 2 v-f2 ^2v+3 • • ■ A^ v _^ A^v — 3 ^4v— 2 



(V=2*) 



dove sotto un triangolo A„ sono segnati i triangoli A 2 „ e A 2 , ! + i che esso genera. 



Si noti che la parità dell' ordine di un triangolo viene a coincidere con quella del- 

 l' indice. 



Fissati gì' indici dei triangoli, restano anche fìssati gì' indici degli antitriangoli, e pre- 

 cisamente : 



'] — Gli antitriangoli corrispondenti a A„ sono V,< e V /l+ i; in altri termini 

 A 2 „ è generalo da A„ assieme a \J,,; e A Z/l+i da A„ assieme a y, i+1 . 



Questa proprietà è stata verificata nelle ipotesi // = 1 , n = 2 ; ammettiamola dun- 

 que pei triangoli delle prime k — 1 righe del quadro precedente, cioè pei triangoli il cui 

 indice è minore di 2v, e dimostriamo che sussiste pei triangoli della k ima riga. 



Il primo antitriangolo corrispondente a A 2v (triangolo d'ordine pari generato da A v ) è 

 l'antitriangolo generato, colle forinole (72), dal primo antitriangolo corrispondente a A v che è 

 V v . Esso coincide dunque con y 2v , cioè col secondo antitriangolo corrispondente a A 2V _, 

 perchè V v e generato (25 "2) dal secondo antitriangolo corrispondente a A v _ t , che è V v • 



Il 2° antitriangolo corrispondente a A 2V è dunque da indicarsi con V2V+1? e d e iden- 

 tico (25'2) al primo antitriangolo corrispondente a A^^j . 



Il 2° antitriangolo V2V+2 corrispondente a A 2V _^, è generato dal secondo antitriangolo 

 corrispondente a A v , cioè da V v +i > e coincide col primo antitriangolo corrispondente a 

 A 2V , 2 , perchè A 0v _j. 2 è generato da A v ^_, assieme a Vv+i • 



Per conseguenza il secondo antitriangolo corrispondente a A 2v _^ 2 è da indicarsi con 

 A2V+3 > e cos ^ procedendo risulta dimostrato 1' asserto. 



Al quadro precedente possiamo quindi sostituire quest'altro, che mette in rilievo oltre 

 la genesi dei triangoli anche la corrispondenza fra questi e gli antitriangoli : 



A A £ A 2 A 3 



A A, A 2 A a A 4 A 5 A tì A 7 



Vo v, v 2 v 3 v 4 



Ogni triangolo della seconda riga è generato dal triangolo della prima e dall' anti- 

 triangolo della terza, ai quali è legato. 

 Resta così anche stabilita la prop.: 



