/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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"2 — Nella successione dei triangoli di Fermat 



A » Ai » A 2 , A„ 



ciascun triangolo d'indice pari (dispari) è associato positivamente (negativamente) 

 al precedente. 



Poiché le ordinate y dei punti razionali della quartica base ottenuti mediante le po- 

 tenze dell'operazione <\> (art. 9), sono alternativamente positive e negative , e quindi corri- 

 spondono a valori alternativamente negativi e positivi del parametro %, la successione dei 

 triangoli di Fermat , ottenuta per iterazione dell' operazione <{* ? ha pure la proprietà ora 

 enunciata ('2), quindi essa coincide con la successione ottenuta col metodo dianzi esposto. 

 Resta per conseguenza dimostrato quanto venne asserito nelP art. 9 , cioè 1' operazione <[> 

 dà per iterazione tutti i triangoli di Fermat. 



Per mettere in evidenza anche la genesi degli antitriangoli possiamo disporre questi 

 e i triangoli come nel quadro seguente : 



A V x A, V, A_, V 3 A 3 



A„ V, A ( Vo A 2 V 3 A 3 V 4 X V 5 A, y 6 A tì 



Vo A Vi V Vi A 2 V 3 



Ogni elemento della seconda riga è generato dall' elemento della prima e dall' ele- 

 mento della terza cui è legato. 



In seguito alla prop. 1 le forinole (53), (60) e (72), (73), per la determinazione av- 



vicendata 



dei 



triangoli 



e degli 



antitriangoli, 



possono ora mettersi sotto la forma seguente 







r ìn -- 



« - 



f sX 



i ^2/141 





(77) 



Aj„ 



\ 



! *" = 















tilt — 



fn*n - 





/«,, , 



= 8r;,5:,p;, + 1 o;, +1 — /*t* 







ir: 



ti + 



2a* n 





= 2ti + 5* 



(78) 





ì ::: 



-2 P „ 





V2„ + l | °2„ 1 











8?> 4 n 



_4 



\ X 2„+-1 





Forinole di ricorrenza per la risoluzione indipendente delle due equazioni. 

 Il primo triangolo torricelliano. 



27. Poiché V« e Vn+i sono rispettivamente il primo e il secondo antitriangolo corri- 

 spondenti a A ;i , si ha (art. 22): 



p„ = D (2r* + si , r u s n — t„), p^, = D(2r* + sj , r„s„ + /») 



(79) ; p„+, p„ 



. _ / . v« 4r n 5»(»i4-4)— /n(2r|— s|) _ , , 4r n s n ( r\ -f s; ) -f /„( 2 rf— sf t ) 



<.„ ( 1 ) 2 ' ' "n r l \ '■) 2 



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 ATTI ACC. SERIB V. VOL. XI. — Metn. XI. 6 



