/ triangoli di Fermili e un problema di Torricelli 



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28. Le formule precedenti permettono di dedurre delle semplici e notevoli relazioni 

 fra gli elementi dei triangoli soltanto. 



Infatti, dalle (83), tenendo presenti le (79) e (HO), si trae : 



?-„_,?'„ . ;•„;•„ fl = (pf ( -|-a;,)(p^ +1 +o'i +1 i = (2r*-)-s^) !! + l^—'Ìf-\-(r H s n J {-t, t f-ì r {r H Sn--t,,Y = 

 = òr* -h 2sJ + Arisi + 2tl = 9ti + itisi , 



e però 



(88) r„_i/Vi = 9rÌ + 44 . 

 Con procedimento analogo dalla 2 a (83) si ottiene 



(89) s«-iS»+i =? 9s; — Sri , 

 e dalla 3* (87) : 



(90) h-itn+1 = 49/2 — 288*^55 . 



Come pure, applicando ai prodotto r n —\r ix . s n s, l+ i , r,j'„ + \ . s„_, s„ le relazioni (83), 

 si ha 



(91 ) /'„_i5„ +1 = 7r„s„ -f 6/„ , s tt _ir„ . t = 7;-„s„ - 6/„ 



dalle quali segue : 



(92) l4;-„5„ = r„_i5„ +1 -f . 1 2/„ = »*»-i5»n — • 



Le forinole (88), (89) permettono di calcolare gli elementi r n+l , s, l+1 di A,, +1 me- 

 diante gli elementi analoghi di A„_i e A„ , partendo dalle posizioni iniziali 



r_! — /'„ — 1 , s_i = s = — l . 



1 calcoli sono anche più semplici , quando s' introduce 1' elemento t n , poiché allora 

 si possono adoperare le (91). 



Devesi notare che 1' applicazione delle formule elegantissime che abbiamo ottenute , 

 per la risoluzione indipendente della prima equazione fondamentale, richiede, a differenza 

 della risoluzione avvicendata, il processo della divisione. 



29. Dalla (88) si ricava anche la prop. notevole : 



L' ipotenusa del triangolo A„ cresce con n non meno rapidamente di 9"< u+1 

 e non più di L5 u(n+1 \ 

 Infatti, essendo 



si < f2r* < lybrl, 



