/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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e quindi 



L2X„ = ?n-l° n +l — P»M-1<V-1 , — L4p n O„ = p.jjO,^, + P»-l««4-l • . 



Dalla (94) segue la prop. : 



L elemento p /( antitriangolo Vn cresce con n //o>// 7/<r//o rapidamente di 

 Infatti, essendo 



2o; < [ 2 pi < l,5p; , 



si ha 



e pero 



se ne ricava 



9p 2 < p , p , , < 15p 2 , 



9 J!L < P±B < 15 J!L; 



p„-l p, p»-l 



p, 

 p* 



3.9" < M < 3. 15", 



donde 



'* < p» < 15 2 .3" < 4"\ 



e da queste segue la prop. enunciata. 



31. Le forinole (77), (78) e quelle ottenute negli art. 27, 28 e 30 sono casi partico- 

 lari di un gruppo di eleganti relazioni fra le soluzioni delle due equazioni fondamentali . 

 che qui riportiamo a complemento della presente ricerca. 



•1 — Qualunque siano gl'indici n, v, purché n^v, si hanno le reiasioni : 



(98) | s„-v 5 »+v - Pv'< - (99) I ^_ V 5 M+1+V = 5;p; ;+i - 



i / ? , = x- f — 8p- a- r' 1 s'~ t t , , . = 8r s sV a" — tf 2 t 2 



n-v h+v v n r v v » « n -v n+1+v v vr,,^.! t ,^.j " v „-f-i 



l (- 1 ) V_1 ^n4-v S n-v= X v r n 5 «+Pv°v >„ 1 ( ~ 1 ) W ^i+v 5 n-v='vPn+lVl+W»+l 



(100) ; (101) 



(- 1 )" 1 >'„+„ Sn-v=\ r n S n—WJn ' (_ 1 ^^-v^+l+v^vPn+l Vl~ W»+ 



Per v eguale a le (98) e (100), essendo o = , danno delle identità, mentre le 

 (99) e (101) dànno le (83), la 3 a (87) e le (84). 



Ammesse dnnque queste formole per n qualunque e per un dato v dimostriamo che 

 sussistono quando si cambi v in v — |— 1 . 



