Memoria XII. 



Sulle serie di funzioni differenziabili 



Nota di CARLO SEYERINI ^ 



In una recente nota di E. Landau ( L ) è dimostrato questo teorema: 

 Stano f; (x), f 2 (x) , . . . , f n (x) , . . . funzioni reali di x, definite per a < x < b e 

 k-volte differenziabili. Per a < x < b sia : 



f,(x) = F(x) 



\n 



[ 



^ .A A) (x) = G (x) 

 I 



equicouvergente. F (x) é allora k z'o//é? differenziabile, e si ha : 



F (<) (x) = C (#). 



Il procedimento, col quale il teorema viene stabilito, dà luogo ad alcuni altri risultati, 

 che credo qui opportuno indicare, avvertendo che le ipotesi in essi contenute sono suscet- 

 tibili di generalizzazione. 



1. Le funzioni : 



(1) fn{x) (*=1,2,...) 



siano, come sopra, definite e /evolte differenziabili nell' intervallo (a, b) ; la serie : 



/<*> ( X ) = G (x) 



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converga ivi quasi da per tutto , ( 8 ) ed esista un valore n dell' indice n tale che si 

 abbia, per ogni x di (a, b) e per ogni p = 0, 1,2,...: 



(3) 



n'+p 



c 



ove C è una costante positiva, finita. 



(*) Comunicata all'Accademia nell'adunanza del 23 Febbraio 1918. 



(') Ueber mehrfache gliedweise differentiation unendlìcher Reihen [Sonderabdruck aus Archiv der Ma- 

 thematik und Physik. Ili, Reihe. XXVI. Heft. 1 (1917)]. 



1 2 ) Fatta cioè al più eccezione per i punti di un insieme di misura nulla, nei quali si possono inten- 

 dere comunque assegnati i valori di G (.v). 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XI. - Meni. XII. 



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