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Carlo Severi ni 



[Memoria XII.] 



In queste ipotesi, detto x un punto qualunque di (a, 6), la serie : 



co 



2„ = H (x) 



può essere successivamente integrata termine a termine /e-volte da x ad x {a<x<~b). ( :! ) 

 e risulta : 



■1"0 . ' - l "o . r 



Suppongasi ora che in k puliti distinti di («, &) converga la serie: 



OO 



(5) 2„ ^ (X) • 



i 



Negli stessi punti dovrà allora convergere, a causa della (4), la serie : 



OO 



(6) 2 i <•'•> + tt /: < <•*•> + + ^r^-'-'-J] ■ 



I 



Ma, se la serie di polinomi razionali interi : 



oo co 



2« P " ( ' V) = 2" ( ""'" + "..m-V'O 

 I I 



converge in 7// -J- l punti distinti x l , x 2 ,..., x m+Xì deve convergere ognuna delle serie: 



(7) 5! "n,L (*'=0, L,2,...,w). 



Ciò è evidente per m = e pei' e si piova col metodo d'induzione che il 



medesimo ha luogo in ogni altro caso. Posto infatti che il teorema sussista per polinomi 

 di grado <! m — l , si consideri la serie : 



(8) 



co co 

 2 [ Pn (*i + h) - P„ (Xj ]= /l ^2i [ b '" > ^ Ò "' ] U + ' + bn -'"~ i ^""^ ' 



( 3 ) Cfr. DE LA ValLÉE-POUSSIN : C'oiiìi d'Analyse Infinitesimale Tome I. p. 263 [Paris, Gauthier- 

 Villars, 1914 ]■ 



(*) Cfr. DE LA VALLEE-POUSSIN, l. C. (3), p. 269. 



