Sulle serie di /unzioni differenziabili 



ove : 



(9) &„,,_, = a n , t + (' + *) «n, w x i + + ("•) -V"' (/=l,2,...,w). 



Poiché la (8) converge per gli /;/ valori di // : 



h t = x L — x K [i—2, 3,..., m-\-ì) , 



deve convergere la serie : 



i 



identica, a causa delle (9), alla serie 



e quindi 1' altra : 



OC 



>, («„,„ + «,,,1 -V + ...... + A-'"- 1 ) , 



quando in essa si faccia x = X t , X 2 , AT /n+1 : ciò che basta al nostro scopo. 



Applicando quanto è stato ora detto alla (6) , si deduce , tenuto conto che x e un 

 punto qualunque di (a, b) , che ognuna delle serie : 



(10) 



co 



2, /!?(*) (*-°> 1,2,...,*-!) 



converge in questo intervallo. Di più la convergenza di ognuna delle (10) è uniforme in 

 (a, b), giacché, qualunque sia i=0, 1, 2,..., k — l, la successione: 



n'+p 



(11) #j>°(*) = ( ' V) (P = 0,1,2, ..) 



è composta , per la (3) , di funzioni equilimitate ed equicontinue nell' intervallo (a, b) ( r> ). 

 Concludendo si ha il seguente teorema : 

 Le fitnslonl : 



(1) fn (X) («=1,2, ) 



siano definite e k-volte differenziabili nelV intervallo (a, b) ; ìa serie: 



co 



(2) y^/ 1 ^ (x) = G{x) 



ij') Cfr. ARZELÀ : Sulle serie di funzioni [Memorie della R. Accademia delle Scienze di Bologna) (1899) 

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