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Carlo Seve r ini 



[Memoria XII.] 



converga ivi quasi da per tutto, ed esista un valore n' dell' indice n tale, che si 

 abbia, per ogni x di (a, b) e per ogni p = 0, 1,2 : 



n'-j-p 



(3) 



fP (■*) 



C. 



ove C è una costante positiva, finita. 



Se in k punti distinti di (a, b) converge la serie : 



(5) 



CO 



y /.<*>, 



ognuna delle serie: 



co 



2 / 



(/=0, 1,2,..., £-1) 



é equiconvergente nelV intervallo (a, b). 



Osservazione : L' ipotesi che la serie (5) converga in k punti distinti può , in ciò- 

 che precede, sostituirsi coll'altra equivalente, che in un punto di {a, b) convergano le serie : 



co 



2. w 



2. Se si sa che la serie (5) converge almeno in un insieme di punti denso nell' in- 

 tervallo (a,b), e che, per ogni i= 1, 2,..., k — 1, esiste un punto x, , in cui è limitata 

 la successione (11), non fa d'uopo ammettere che converga quasi da per tutto la serie (2) 

 per giungere al risultato dianzi enunciato. Sotto la condizione (3), ognuna delle succes- 

 sioni (11) risulta infatti, come è stato già osservato, composta di funzioni equilimitate ed 

 equicontinue nell'intervallo (a,b), e poiché per i = esiste un'unica funzione limite con- 

 tinua, il medesimo deve necessariamente verificarsi in ogni altro caso. 



Sussiste quindi il teorema : 



Le funzioni : 



(1) fn(.V) {*=■*>% ) 



(i=0, 1,2,.., k-ì). 



siano definite e k-volte differenziabili nell' intervallo (a, b) , ed esista un valore n 

 dell' indice n, tale che si abbia, per ogni x di (a, b) e per ogni p = 0, 1,2, : 



(3) 



fl'P (x) 



c 



ove C è una costante positiva, finita. 



