Sulle serie di funzioni differenziabili 



Se, almeno in un insieme di punii denso in (a, b), converge la serie : 



co 



(5) 2„ A ' ( - v) ' 



i 



e, per ogni i = 1, 2,..., k— 1, esiste un punto x, , in cui la successione : 



n'-t-/, 



(11) (P=0,l,2 ) 



é limitata, ognuna delle serie : 



co 



y, a° i*) (*=o, i»2,..., 



i 



é equiconver gente iteli' intervallo (a, b). 



Osservazione : Sotto le ipotest dette, anche la serie : 



co 



(2) 2L ^ ( - r) = g <*) 



risulta equiconvergente in («, /;) , se sono verificate le condizioni necessarie e sufficienti 

 per 1' esisteiiza di una funzione limite continua della successione : 



R^{.v) =2 ft (p=0,l,2, ) 



che, a causa della (3) , è composta di funzioni equilimitate ( 6 ). 



3. Conseguenza immediata dei due teoremi sopra enunciati è il seguente : 



Nelle ipotesi poste per le funzioni (!) e sotto le condizioni di convergenza 



dei precedenti teoremi, la serie : 



co 



f{x) = y t 



fa (X) 



è (k — Yvvolle differenziabile, e si ha: 



CO 



F®(x) - 5J„ f$( x ) (f=l, 2,..., 



I r ') Or. ARZELÀ I. c. (5): Sulle serie di funzioni ugualmente oscillanti [Rendiconto delle Sessioni della 

 R. Accademia delle Scienze di Bologna (1903-1904)]. 



