Memoria XX. 



Prof. G. SCORZA 



Alcune questioni di geometria sopra una varietà- abeliana qualunque 



Basta considerare la teoria delle corrispondenze algebriche situate sopra una curva 

 algebrica dal punto di vista trascendente, per accorgersi subito che essa può essere estesa 

 nelle sue linee generali alle varietà abeliane. 



È appunto tale estensione l'oggetto dei primi due paragrafi di questa Nota ; dai quali 

 risulta che mentre in taluni casi ai teoremi per le curve rispondono per le varietà abe- 

 liane teoremi perfettamente analoghi, in altri fra i teoremi delle due teorie non vi è 

 alcuna analogia. 



La ragione intima delle simiglianze e delle differenze che intercedono tra le curve 

 algebriche e le varietà abeliane, per quanto ha tratto alla teoria delle corrispondenze algebriche 

 situate su di esse, è da ravvisare nel seguente fatto. 



Il Severi dimostrò nel 1905, per via trascendente, *) che : 



Se una serie algebrica co 1 irriducibile di gruppi di punti situata sopra una 

 curva algebrica irriducibile è tale che risultino equivalenti i gruppi di cui cia- 

 scuno è somma dei gruppi della serie passanti per un punto della curva, addirittura 

 i gruppi della serie sono fra loro equivalenti ; 



poi, nel 1906, valendosi di un notevole teorema geometrico di Castelnuovo, osservò, 2 ) 

 che nell'enunciato di questa sua proposizione l'ipotesi della irriducibilità della serie poteva 

 esser lasciata cadere. 



Ebbene, imitando passo per passo il ragionamento trascendente di Severi si arriva 

 facilmente a stabilire che : 



Se una serie algebrica oc" irriducibile di gruppi di punti situata sopra una 

 varietà abeliana della dimensione p è tale che risultino appartenenti a una 

 slessa g" 1 di Castelnuovo 3 ) i gruppi di cui ciascuno è somma dei gruppi della 

 serie passanti per un punto della varietà, addirittura i gruppi della serie appar- 

 tengono a una stessa gZ' 1 di Castelnuovo ; 



ma qui non è più possibile sopprimere la condizione dell'irriducibilità della serie senza 

 infirmare l'esattezza del teorema. 



Infatti se il teorema valesse senza restrizioni si troverebbe facilmente che sopra una 



*) SEVERI. teorema rf'ABEL sulle superficie algebriche (Annali di Matematica, serie 3 a , t. XII, pp. 55 - 

 79), n° i. 



2 ) SEVERI, Osservazioni varie di geometria sopra una superficie algebrica e sopra, una varietà (Atti 

 del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, t. LXV, Parte seconda, pp. 625-643), n' 10. 



3 ) CASTELNUOVO, Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare (Rendiconti della 

 R. Accademia dei Lincei, serie s a , voi. XIV, pp. 545-556, 593-598, 655-663). p. 556. 



