Prof. G. Scorsa 



[Memoria XX. J 



varietà abeliana l'inversa di una trasformazione a valenza zero (vedi più avanti il n° 4) 

 sarebbe anch'essa, se ad indice finito, a valenza zero, anche se la trasformazione data 

 fosse riducibile, cioè spezzabile nella somma di più trasformazioni algebriche; e allora, 

 con tutta facilità, si potrebbe dimostrare valida in generale la parte b) del teorema che 

 qui al n° 1 1 viene dimostrata per le sole trasformazioni univoche. 



E tale validità generale di quella proposizione è evidentemente impossibile, perchè 

 la relazione che intercede fra due trasformazioni di cui l'una sia l'inversa dell'altra è sim- 

 metrica, mentre non è simmetrica la relazione che passa tra una matrice quadrata e la 

 trasposta della matrice aggiunta. 



L'ultimo paragrafo di questa Nota risolve un problema sulle varietà abeliane impure 

 che si presenta con grande frequenza a chiunque si occupi di geometria sopra una tale 

 varietà. 



Come è detto a suo luogo il problema in discorso può esser risoluto in due ma- 

 niere differenti. Qui delle due vie se ne espone soltanto una ; l'esposizione dell'altra viene 

 rimandata a un lavoro ulteriore che ne indicherà applicazioni eleganti alla teoria delle 

 superficie iperelliltiche con infiniti fasci ellittici di curve ellittiche. 



I. 



Le trasformazioni algebriche 4 ) situate sopra una varietà abeliana. 



1. Sia V una varietà abeliana 5 ) della dimensione p e T una trasformazione algebrica 

 di indice a situata su di essa. 

 Sia inoltre 



a> = IK.''ll (j= [,..., p; r= 1,..., 2p) 



la matrice riemanniana cui appartiene V, e siano Ui, u., ... , u p le variabili indipendenti 

 delle funzioni abeliane che appartengono alla matrice <o e forniscono una rappresentazione 

 parametrica di V. 



Se per T al punto P=(u.i, u 2 ,..., u p ) di V corrispondono gli a punti 



p»mU*'.S. w ) <»='•••••«>• 



4 ) Intendiamo per « trasformazioni algebriche », senz'altro, le trasformazioni algebriche ad indice finito, 

 poiché di queste sole ci occupiamo nel presente lavoro. Però dalle nostre considerazioni non si intendono 

 escluse le trasformazioni algebriche che pure essendo ad indice finito hanno per inverse delle trasformazioni 

 algebriche ad indice infinito. 



5 ) Per la definizione di varietà abeliana che qui si intende adottata v. G. SCORZA, Intorno alla teoria 

 generale delle matrici di RlEMANN e ad alcune sue applicazioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Pa- 

 lermo, t, XLI (1916, 2 semestre), pp. 263-380], nota 13 ) a piè della pagina 269 e pag. 330-331. 



