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Prof. G. Scorsa 



[Memoria XX.] 



Poi si faccia corrispondere al punto (u lt u s , ... , u p ) di V il punto [u[, u' 2 , ... , u p ) 

 per cui si ha 



\..p 



4) uj = ^ h.i «/ + L (Ì = 1, - i />)» 



le 7; essendo delle costanti arbitrariamente fissate. 



Dico che per tal modo resta costruita su V una trasformazione univoca, algebrica, 

 legata alla sostituzione 3) e che quindi la risposta alla domanda fatta più sopra è affer- 

 mativa. 



Infatti, per dimostrare l'univocità e l'algebricità della trasformazione che sole hanno 

 bisogno di essere giustificate, suppongasi, com'è lecito, che lo spazio cui appartiene V sia 

 un S l , + i e, dette X l , ... , X p + t le coordinate del punto (w 15 u % , ... , u p ) scorrente su V, 

 siano le 



X t .—fi (u„ u s , ... , u p ) [i— !,...,/> + 1) 



le equazioni che dànno la rappresentazione parametrica di V mediante funzioni abeliane 

 appartenenti alla matrice (a. 



Le coordinate X- del punto {u[, u' 2 , ... , u' p ) definito dalle 4), per l'ipotesi fatta sui 

 numeri A; ,, risultano funzioni abeliane di «,,?/.>,..., u t , con ìp sistemi di periodi nei 2p 

 sistemi di numeri forniti dalle colonne di w; quindi, per un teorema classico di Weierstrass, 10 ) 

 ciascuna delle Xl è una funzione razionale delle f, cioè delle X,. 



3. Raccogliendo le osservazioni fatte nei n' 1 e 2 abbiamo il seguente teorema : 



Ad ogni Ir asf orniamone algebrica appartenente a V è legata una sostituzione 

 riemanniana di V; ma a ciascuna sostituzione sì fatta sono legate infinite tra- 

 sformazioni algebriche situate su V. 



In altri termini : 



Le trasformazioni algebriche di una varietà abeliana possono essere distri- 

 buite in infinite classi contenenti ciascuna infinite trasformazioni, corrisponden- 

 temente alle infinite sostituzioni riemanniane della varietà. Ciascuna classe è 

 V insieme delle trasformazioni algebriche legate a una stessa sostituzione rieman- 

 niane e può dirsi la classe legata a tale sostituzione. 



4. La sostituzione 



5) x r | \x r (r=l,...,2p; X intero relativo qualunque) 

 comparisce sempre fra le sostituzioni riemanniane di V. 



10 ) Vedi, per es., KRAZER, Lehrbuch der Thetafunktionen (Teubner, Leipzig, 1903), pag. 117. 



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