Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque 



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Le trasformazioni legate ad essa si diranno le trasformazioni a valenza — A. 



Se l'indice di moltiplicabilità (di <■>, cioè) di V è nullo, 12 ) le sostituzioni riemanniane 

 di V sono tutte del tipo 5), e viceversa; dunque: 



Le trasformazioni a valenza esauriscono tutte le possibili trasformazioni 

 algebriche situate sopra una varietà abeliana quando, e solo quando, questa è ad 

 indice di moltiplicabilità nullo. 



Volendo, sarebbe facile assegnare delle trasformazioni a valenza situate sopra una 

 varietà abeliana una definizione geometrica analoga a quella delle trasformazioni a valenza 

 situate sopra una curva algebrica 13 ). 



Come nell'una si fa ricorso alla nozione di serie lineare sopra una curva, così nel- 

 l'altra basterebbe far ricorso alle g*' 1 di una varietà abeliana definite dal Castelnuovo. u ) 



5. La classe delle trasformazioni a valenza zero, legata alla sostituzione nulla, si dirà 

 la classe nulla. 



Due classi legate a sostituzioni riemanniane opposte, S e — S, si diranno opposte; 

 e se l'ima si indica con C, l'altra si indicherà con — C. 



La classe legata alla sostituzione riemanniana S t -(- S 2 , somma delle due sostiLuzioni 

 riemanniane S t ed S 2 , si dirà somma delle classi C t e Cj, legate alle sostituzioni S l ed S 2 

 e si indicherà con C i -\-C t j e la classe C t — C 2 , differenza delle classi C i e C, sarà 

 la somma di Ci e — C-> . 



Dopo ciò apparisce senz'altro che cosa sarà la classe multipla secondo un intero 

 (relativo) a di una classe assegnata; e più in generale che cosa sarà la classe combina- 

 zione lineare (omogenea) delle classi C if C 2 ,..., C m secondo gli interi a,, a 3 , ... , a„, che 

 si indicherà con 



A + «2 C 2 .4" - + tt m Cm ■ 



Per le classi di trasformazioni conviene introdurre anche la nozione di prodotto defi- 

 nendo però, in vista di quanto sarà osservato tra poco, come prodotto C t C 2 delle classi 

 C l e C2, legate alle sostituzioni S t ed S 2 , la classe legata alla sostituzione prodotto di 

 queste schierate in ordine inverso, cioè alla sostituzione S 2 S, . 



6. L'utilità delle definizioni ora poste, manifesta per sè, viene messa in rilievo dalle 

 seguenti osservazioni che si giustificano subito : 



u ) In accordo con quanto è detto nella nota 9 ) si osservi, a giustificazione di questa definizione, che la 

 sostituzione 5) è trasformata in sè da ogni sostituzione del gruppo ivi considerato, anzi da ogni sostituzione 

 lineare omogenea propria sulle stesse variabili. Del resto veggasi quello che vien detto nel testo poco più sotto. 



12 ) Per la definizioee dell'indice di moltiplicabilità di r, cioè di m, v. loc. cit. 5 ), Parte I, n° 20. 



13 ) La nozione di valenza per una corrispondenza algebrica sopra una curva algebrica è stata estesa re- 

 centemente dal ROSATI [Sulle valenze delle coi rispondenze algebriche fra i punti di una curva algebrica 

 (Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, voi. LUI (1917), pp. 5-22)] così, che, nel senso da lui 

 stabilito, ogni tale corrispondenza è dotata di una o più valenze; ma è evidente che nel testo quella nozione 

 viene adoperata nel senso più ristretto fissato dallo HURW1TZ. 



y> ) Loc. cit. :ì ) 



