Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque 7 



Esso è pertanto eguale ad 1 quando, e solo quando, le trasformazioni algebriche della 

 varietà sono tutte a valenza. 



8. Una trasformazione algebrica di V (o la classe a cui essa appartiene) si dirà spe- 

 ciale se è legata ad una sostituzione riemanniana di V non nulla ma a modulo nullo. 19 ) 



Ora V ammette sostituzioni riemanniane sì fatte quando, e solo quando, è impura, 

 ossia è tale la matrice co a cui appartiene, 20 ) dunque: 



Una varietà abeliana ammette classi speciali di trasformasioni quando, e solo 

 ■quando, è impura. 



§ 2. Le trasformazioni algebriche univoche situate sopra una varietà abeliana. 



9. Le trasformazioni della classe legata alla sostituzione riemanniana 3) di V che 

 riescono univoche, se le X,,, sono i numeri determinati mediante le 2) dai coefficienti 

 della 3), sono tutte e sole quelle rappresentate dalle equazioni 4) o, ciò che fa lo stesso, 

 dalle congruenze (mod w) 



al variare delle costanti \j. 

 Di qua segue che : 



In ciascuna classe di trasformasioni di V esistono infinite trasformasioni 

 univoche. Una di esse è individuata quando sia assegnato il punto in cui deve 

 portare un punto determinato di V, e quindi esse costituiscono una schiera con- 

 tinua oc 1 ' che può considerarsi come una varietà abeliana birasionalmente iden- 

 tica a V. 



In particolare le schiere cc p di trasformazioni univoche di V, contenute nelle classi 

 delle trasformazioni a valenza -j- 1 o — l, sono le due schiere di trasformazioni Irrazio- 

 nali di V in sè stessa della prima o della seconda specie. 



10. Per approfondire lo studio delle trasformazioni algebriche univoche situate su V 

 giova premettere la deduzione dalle 2) di alcune notevoli identità. 



trodurre un numero-base per le trasformazioni algebriche tra due varietà abeliane e a riconoscere che esso 

 coincide col carattere simultaneo (v. loc. cit. 5 ), Parte I, n° 3) delle matrici riemanniane a cui appartengono 

 le due varietà. 



Notisi che il numero-base qui accennato, a differenza di quello di cui si parla nel testo, può essere 

 anche nullo. È tale quando le due varietà, cui si riferisce, (cioè le corrispondenti matrici riemanniane) non 

 sono l'incoiate . 



l9 ) Per le curve algebriche le corrispondenze speciali sono state considerate per la prima volta dal ROSATI. 

 V. la sua Memoria : Sulle corrispondenze fra i punti di una curva algebrica e, in particolare, fra i punti 

 di una curva di genere 2 [Annali di Matematica, serie 3% voi. XXV, pp. 1-32], \ 2. 



t0 ) Loc. cit. ■'), Parte 1, n° 32. 



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