Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque 9 



Diiu. di a). Supponiamo assegnati nella 7) i valori delle u] e facciamo vedere che 

 A è il numero delle soluzioni (u l , u 2 ,..., u p ), che esse ammettono, incongrue rispetto ad to. 

 Le 7) possono scriversi, indicando con le .v,, .v, x 2p delle indelerminate intere, 



!../> i..2p 



2 hi u i = u 'ì — ti + 2 Xt m * 1 (; ' = 1 



e queste, siccome .J = t quindi anche A =|= 2:ì ), equivalgono alle equazioni 



^ I../> ^ I../P I..2/. 



^ x 2 A; ' ^ ~ Yj) ^2 2 " v< A/ ' a w " 1 {k=z[ ^ ' 



/ y < 



cioè, per le 9), alle equazioni 



io) «* = 2 a '- " ^ ~ yj) + t 2 ^ ' " Vj w '" r ik=i />). 



Si tratta di far vedere che, facendo variare comunque nelle 10) gli interi x t , fra i 

 sistemi di valori che si ottengono per le u h quelli incongrui rispetto al modulo to sono 

 precisamente in numero di A. 



Perchè due sistemi di interi per le x t , x\ e x" t , diano luogo per le u lL , mediante 

 le 10), a sistemi di valori congrui rispetto ad od, occorre e basta che esistano degli in- 

 teri «„ <7 2 ,..., a% p per cui si abbia 



\..ip 1..2Ò 

 1 XI 



A 



r.t 



^ Ar, t (X' t — Xt) «È, , = 2 "> t °'" '' (* = 1 p), 



ossia 



I ..2 p 



l v* 



— > Ar ti {x t — x t ) = a,. 



(r=l,...,2p); 



quindi occorre e basta che sia, rispetto al modulo A, 



I ..2p 



11) y Ar. t (x' t - x' t ) =0 (r = 1 2/>). 



Ora, per il nostro scopi;, nelle 10) ciascuno degli interi x t può esser calcolato ri- 

 spetto al modulo A , e le soluzioni, incongrue rispetto ad A, delle congruenze 11) nelle 



a ) Veggasi al loc. cit. ; '), Parte I, n° 22 l'identità 11) 0, più generalmente, l'identità 10). 



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