Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque ] 1 



Ma, per le 9) , 



I ,.2p 



l, Te Wf, r 



2 



A s , r t«)fc, 



dunque infine 



2 A„ >r <M t ., s = 2 a',., , co ft(S 



(*=1,..., p; r=ì,...,2p); 



cioè, come volevasi, per r, 5=1 2/) , 



a 



12. Il teorema or ora stabilito è completato da quest'altro: 



Se la sostituzione 3) è impropria (ossia è A = 0) , V inversa di T è ad indice 

 infinito. 



E infatti, se è A — 0, è pure A = 0, quindi le p forme lineari nelle u$ 



siano le Uj , le u'j soddisfanno ad una (almeno) relazione lineare a coefficienti costanti. Ciò 

 significa che il luogo dei trasformati mediante T dei punti di V è una varietà (contenuta 

 in V) di dimensione inferiore a quella di V, e che quindi l'inversa di T non può essere 

 una trasformazione ad indice finito. 



Avremo occasione altrove di caratterizzare in modo più preciso 1' inversa di T nel- 

 1' ipotesi che sia A — 0. 



Qui basti accennare che quando è A = e la caratteristica (necessariamente pari) 25 ) 

 del determinante A è lq (0 <T q < />), il luogo dei trasformati mediante J di tutti i punti 

 di V è una varietà abeliana della dimensione q, e i punti di V rispondenti in T~ l a un 

 punto di quest' ultima varietà riempiono una varietà abeliana della dimensione p — q va- 

 riabile in una totalità, sempre abeliana, della dimensione q. 



Nel caso estremo in cui sia q =0 tutti i punti di V hanno per trasformato in T un 

 medesimo punto. 



13. Dalle proposizioni dei numeri 11 e 12 si raccoglie che: 



Una trasformazione algebrica univoca situala sopra una varietà abeliana è 

 dotata di inversa con indice finito quando e solo quando la classe a cui appar- 

 tiene è non nulla e non speciale. 



14. Torniamo a considerare la trasformazione T del n° 11, supponendo ancora A =0. 

 Allora T dà luogo su V a una corrispondenza (A, 1). 



Loc. cit. 5 ), Parte I, n° 14. 



i..p 



(7= !,...,/>) 



non sono indipendenti. 



Ma allora, riguardando T come rappresentata dalle equazioni 4), si ha che. qualunque 



