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Prof. G. Scorsa 



[Memoria XX. J 



Ebbene se il numero delle coincidenze di questa corrispondenza è finito, esso 

 è dato dal determinante 



dove è h rs =] o 5,. = secondo che è r == s o r4=s. 



Perchè il punto (« t , u„,..., u p ) sia un punto unito per la nostra corrispondenza oc- 

 corre e basta che sia, indicando con le x i , x 2 ,..., x Zp dei convenienti interi, 



\.,p l..2p 



ossia, col significato del simbolo Ò ;7 or ora stabilito : 



l..p l..2p 



13) ^ " Ux = — y, + ^ Xt (u '' < • 



Ora supponiamo che il determinante | a r<s — 8,. >a | sia diverso da zero. Allora è tale 

 anche il determinante | \ fl — perchè quello non è che la norma di questo; 26 ) 



quindi, per un ragionamento analogo a quello sviluppato nel n. Il, il numero delle solu- 

 zioni // 2 ,..., Up) delle 13), incongrue rispetto ad oj, è finito ed è eguale al valore di 

 | «r,s — S r>s | . 



Supponiamo invece che dei nostri due determinanti uno, e quindi anche l'altro, sia 

 nullo. Allora le 13) o sono incompatibili o sono linearmente dipendenti. Nella prima ipo- 

 tesi il numero delle coincidenze della corrispondenza considerata è nullo; nella seconda è 

 infinito : dunque sta sempre che, quando il numero delle coincidenze è finito, esso è dato 

 dal determinante | a,. iS — ò rtS \ . 



Notisi che codesto numero può essere infinito solo quando sia 



\a,, s — 8„ s | = 0, 



cioè quando l'equazione caratteristica della sostituzione riemanniana a cui è legata la tra- 

 sformazione T ammetta la radice 1. 



Ora la presenza di questa radice, se la sua molteplicità (necessariamente pari) è in- 

 feriore a 2p, indica che la matrice co è impura ; 27 ) d'altronde se o> è pura e l'equazione 

 caratteristica di una sua sostituzione riemanniana ammette la radice 1 con la molteplicità 

 2p, questa sostituzione è necessariamente la sostituzione identica , 2S ) e quindi una tra- 

 sformazione univoca legata a tale sostituzione è una trasformazione birazionale di 2 a spe- 

 cie, che è o identica o priva di punti uniti ; dunque : 



S6 ) Loc. cit. 23 ). 



21 ) Loc. cit. 5 ) Parte I, n° 23 e n° 32. 



s8 ) Le omografie riemanniane di una matrice pura sono tutte generali. Vedi : G. SCORZA : // rango di 

 una matrice dì Riemann [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie 5 a , voi. XXVI , (1917, 2 seme- 

 stre) , pp. 177-182]. n° 5 e ROSATI, loc. cit. 13 ). n" 10. 



