Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque 13 



Una varietà abeliana che possegga una corrispondenza algebrica (A, 1) con 

 infiniti punti uniti e diversa dall' identità è necessariamente impura. 



Sopra una maggiore determinazione di quest' ultimo teorema ritorneremo nel lavoro 

 cui è stato alluso più sopra. 



Qui basti osservare i seguenti corollari delle proposizioni stabilite : 



a) L'inversa di una trasformazione univoca a valenza y non nulla, situata 

 sopra una varietà abeliana della dimensione p, ha V indice y 2 '' e la valenza y 2p_1 ; 



b) La corrispondenza algebrica (y 2p , l) generata sopra una varieià abeliana 

 di dimensione p da una trasformazione univoca a valenza non nulla y o è iden- 

 tica (e in tal caso è necessariamente y = — 1) o possiede (y-f-1) 2 '' coincidenze. 



15. Dalle osservazioni fatte risulta che una varietà abeliana possiede sempre infinite 

 corrispondenze algebriche (v, 1) con un indice eguale all'unità; esse sono tutte e sole 

 quelle generate dalle trasformazioni univoche ciascuna delle quali sia dotata di inversa a 

 indice finito. 



Come si caratterizza l' insieme dei valori {interi , positivi) che assume V in- 

 dice v di queste corrispondenze per una assegnata varietà abeliana ? 

 La risposta a questa domanda è immediata. 



Diciamo p il numero base della nostra varietà abeliana V e siano 



A w , A™,..., A® 



le matrici di p sostituzioni riemanniane costituenti, per 1' insieme delle sostituzioni rieman- 

 niane di V, una base minima. 



Allora la matrice di ogni altra sostituzione riemanniana di V è una matrice del tipo 



14) Xi A w + x 8 A® + ... -f * A { ( j) 



con le x ì , x 2 x intere, e inversamente; d'altronde il modulo della sostituzione la cui 

 matrice è la 14) , cioè il determinante 



15) + + +x (J A^\, 



se è diverso da zero, fornisce il valore dell' indice v delle corrispondenze (v, 1) generate 

 dalle trasformazioni univoche che son legate alla sostituzione stessa; dunque, se indi- 

 chiamo con 



f{x i , X, Xp) 



la forma, di grado 2p nelle x k , x 2 Xf> , a coefficienti interi rappresentata dal determi- 

 nante 15), possiamo dire che : 



Per la varieià abeliana V /' insieme dei valori assunti dall' indice v è V in- 

 sieme dei numeri interi positivi rappresentabili con la forma f(x 1 , x 2 ,..., x ), in 

 cui il grado è il doppio della dimensione di V e il numero delle variabili è il 

 numero base di V. 



Notisi che : 



a) La forma f è annullantesi o no secondo che V è impura o pura ; 



b) Tra i numeri interi rappresentabili con la forma f comparisce sempre 

 V unità, qualunque sia V ; 



