Alcune questioni di geometria sopra una varietà abeliana qualunque 15 



le c 1 ,c z ,...,C g essendo q costanti arbitrariamente assegnate, è una varietà abeliana della 

 dimensione p — q appartenente alla matrice riemanniana 



18) 



«>4+2.2, i+ l <»g + 2,2«+2 

 °V',>'; + 1 lu p,2g+2 



»J>,2l> 



Sorge cosi, al varial e delle costanti d , C 2 C q , un sistema di ce'' varietà abeliane 

 della dimensione p — q situato su V. i2 ) 



Un altro sistema dello stesso tipo, e cioè un sistema gc p ~ q di varietà abeliane della 

 dimensione q, si otterrà considerando su V le varietà, ciascuna delle quali sia 1' insieme 

 dei punti di V per cui si ha 



19) 



W<z+i — Yat-i > w a+-2 



Yai 



-, «p = Yp 



le Y?-H> Y'/f2vt Y/> essendo anch'esse delle costanti. 



Diciamo complementari , per una ragione ovvia , i due sistemi oc 7 e cc ''-' 1 di va- 

 rietà che così sorgono su V e proponiamoci di determinare il numero dei punti 

 comuni a una varietà generica dell' un sistema e una varietà generica dell'altro. 



Tale numero, che come risulterà tra poco, è sempre necessariamente finito, può esser 

 determinato in due maniere differenti. 



Di codeste due maniere esporremo altrove quella che conduce all' enunciato più ele- 

 gante e che mette in rilievo il significato geometrico di un importante carattere aritme- 

 tico simultaneo di due assi complementari di una matrice riemanniana impura; ma anche 

 quella che ora passiamo ad esporre è da tener presente , non ostante la complicazione 

 dell'enunciato a cui perviene, perchè vi sono problemi in cui dei due enunciati è proprio 

 quest' ultimo quello che ha maggior valore euristico. 33 ) 



17. Supponiamo che la matrice co cui appartiene V abbia la forma 16). 



Allora se 



20) 



'1,1 k l,2 



S'. 1 



{q'=p — q) 



**) Come e noto, questo sistema o>9 e a sua volta, considerato come totalità dei suoi elementi, una va- 

 rietà abeliana della dimensione q. 



3:i ) Per esempio esso si presta assai bene alla risoluzione del seguente problema : Determinare le (ma- 

 trici riemanniane cui appartengono le) superficie i perei/ittiche con due fasci ellittici iti curve ellittiche tali 

 che la curva generica dell' un fascio sechi quella generica dell' altro in un numero di punti assegnato. 



