Sul complesso di rette, de//' S, , di' 4" specie, d' ordine 2 e di c/asse 4 3 



Dunque ( 9 ) 



ogni fascio di T incontra la conica singolare x. 



5. Sia Si un punto singolare posto nel piano (x) ; se esso non appartenesse alla 

 conica x, le due rette di T poste (AI, n° 43) in (x) e passanti per esso ( 10 ), apparterreb- 

 bero (M, n° 33) al fascio S(,), onde questo fascio giacerebbe in (x), ciò che è assurdo 

 perchè in (x) non esiste (M, n° 43) alcun fascio di V. Ne segue che i punti singolari, 

 come Si , giacenti nel piano (x), appartengono alla conica x, cioè sono i dieci (n° 1!) punti 

 di questa, ognuno dei quali è vertice di un cono quadrico di Y spezzato in due fasci. 



Ma (n° 3) la curva a è d' ordine 40, questi dieci punti ora detti sono doppi per essa, 

 dunque ogni spazio passante per il piano (x) seca ulteriormente a in 40 — 2.10 = 20 

 punti, cioè 



w 



al cono quadrico di T avente il vertice in un punto qualunque della conica x, 

 appartengono 20 punti singolari d' ordine uno. 

 In altri termini : 



Per ogni punto della conica x passano 20 fasci di V . 



6. Sia /', se è possibile, una retta incidente il piano (x) e singolare per V. 

 Cominciamo ad osservale che il punto S = r (x) deve (n° 5) essere il vertice di 



uno dei dieci coni quadrici spezzati (n° 2) in coppie di fasci. Inoltre il cono quadrico di 

 r posto nello spazio r x dovendo avere r per direttrice, sarà anch' esso spezzato in due 

 fasci, uno dei quali, sia (S), avrà il suo piano passante per r. Dunque non solo che S 

 ed S' devono essere fra i vertici dei dieci coni sopradetti, ma inoltre il fascio (S') do- 

 vrebbe passare per S, ciò che è assurdo essendo T generale. 



Concludiamo dunque che della curva a non fa parte alcuna retta incidente il piano (x). 



7. Sia /■ una retta comune ai piani, singolari ( u ), dei fasci (Si) e (Si'). 



Se r passa per S 4 , essa dovrà anche passare per S/, giacché altrimenti per il punto 

 Sj passerebbe il raggio staccato S 1 Si' di Y, e ciò (M, n° 33) è assurdo. 



Se, invece, ;' non passa per Si, e quindi nemmeno per S t ', allora i fasci (Si) ed 

 (Si') appartengono alla congruenza lineare che il 4-complesso CC possiede nel loro spazio, 

 onde la retta SiSi, e così pure la stessa r, sono le rette direttrici di questa congruenza. 

 Ne segue che incontra la conica x, e possiede due punti singolari (d' ordine uno); in- 

 fatti la rigata d' ordine 4 che T ha nel sopradetto spazio, dovendo avere la retta S 4 Si' 

 come doppia, sarà composta dei fasci (Sj), (Si'), e di due altri fasci i cui piani passano 

 per la retta SjS,', e i cui centri appartengono alla retta 



In ogni caso possiamo dunque concludere che 

 se una retta appartiene a due piani singolari, essa apparterrà pure a due punti 

 singolari d' ordine uno. 



(■') Al medesimo risultato si perviene osservando che il piano di (Sì) incontra (x) in un punto A ; ne 

 segue che AS t è una retta di T, e quindi appartiene al cono quadrico di T posto nello spazio SjT, onde A 

 è il vertice di questo cono, e quindi A appartiene a ~. 



( I0 ) Se r è generale il piano (") non è (M, n° 42) parassita per esso , ma è chiaro che nell' ipotesi 

 contraria, scegliendo convenientemente i 5-complessi C, C', C", si può ottenere che ogni retta di (x) appar- 

 tenga a F. Si noti però che in tal caso non conviene considerare (x) come piano parassita, perchè il fascio 

 di r posto in questo piano e col vertice in un punto qualunque della conica x, fa parte del cono quadrico 

 del complesso avente per vertice il medesimo punto. 



(") Diremo singolare ogni piano che contenga un fascio di V. 



