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Giuseppe Mariella 



[Memoria V.J 



8. Il teorema inverso del precedente non è vero ; infatti congiungendo due punti ge- 

 nerici della curva a, si ottiene una retta la quale non appartiene a T, ne incontra t, 

 mentre se essa appartenesse a due piani singolari, dovrebbe (n° 7) o appartenere a V 

 ovvero incontrare la conica t. 



Si può però dimostrate che 

 se una velia, non di Y, appartiene a due piani singolari, essa appartiene a tre 

 punti singolari, due d'ordine uno e l'altro d' ordine due; e viceversa. 



La prima parte fu dimostrata nel numero precedente. Se, viceversa, ad una retta r 

 (non di V) appartengono i punti singolari S,, S/ e S 2 , siccome r non è (n° 6) singolare, 

 così le rette di T ad essa incidenti, generano una rigata d' ordine 6 della quale fanno 

 parte i fasci (Si), (S/), e il cono quadrico (S2). Rimane una rigata quadrica avente r 

 come doppia, e quindi spezzata in due fasci (Si"), (Si"') i cui piani passano per r. 



Osserviamo che allo spazio di questi fasci appartengono (S ( ) ed (Si'); infatti (Si), 

 p. es., passa pei raggi S t Si" ed SiS/". Notiamo dunque che in questo caso la rigata di 

 F esistente in questo spazio, è composta dei quattro fasci (Si), (Si'), (Si"), (Si'"), e le 

 sue due rette direttrici doppie sono r e la retta r = Si "Si"'. 



9. Se diciamo associali due punti della curva a (n° 3), ogni qualvolta uno di essi 

 appartenga al piano del fascio (di Y) dell'altro ( u ), il teorema dimostrato nel numero pre- 

 cedente si può enunciare cosi : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè siano cospasiali due fasci di Y i 

 cui cenili non sono associali, è che la retta di questi centri incontri la conica t. 



10. Sia Si un punto singolare d' ordine uno. Il fascio (Si) e 1' ipersuperfìcie Vr. delle 

 rette di Y incidenti un piano generico %, si secano in una sestica, della quale fa parte la 

 retta di tS t ) incidente tc. Rimane una curva c d'ordine 5, non passante per S 4 ( 13 ) e 

 avente il punto (n° 4) A = (SJx multiplo secondo 1.2 = 2. 



La curva c e 1' ipersuperficie V -' delle rette di Y incidenti un altro piano generico 

 rJ, si secano in 5.6 = 30 punti dei quali fan parte : 



i 10 punti comuni ad (S\) e alla rigata F--' ( 14 ); 



i 5 punti comuni a c e alla retta di (Sj incidente x' ; 



e il punto A contato 4 volte, perchè esso è doppio per c e doppio per V -' . 

 Rimangono quindi 30 — (10 -j- 5 -j- 4) = 11 punti che sono singolari (d'ordine 

 uno), perchè ciascuno di essi è già comune a tre raggi di Y. 



Concludiamo dunque che 

 in ogni fascio di Y esistono undici punti singolari d" ordine uno, oltre del centro 

 del fascio. 



In altri termini : 



Ad ogni piano singolare appartengono dodici punti singolari d' ordine uno ( 15 ). 



( 12 ) E quindi questo apparterrà al piano del fascio di quello, giacché altrimenti per quest'ultimo punto 

 passerebbe un raggio staccato di I\ ciò che (M, n° 33) è assurdo. 



( 13 ) Infatti Sj è semplice per (Si) e semplice per V % , e già per esso passa la detta retta di (5 t ) inci- 

 dente ~. 



( 14 ) Indichiamo con la rigata, d'ordine 6+4 = 10, generata dalle rette di Y incidenti ~ e anche r'. 



C 3 ) Si ottiene una verifica di questo teorema, applicandolo a quattro fasci cospaziali di T (n° 8); si ri- 

 troverà che nello spazio di questi esistono 12 +(12—2) + (12— 3) + (12— 3) = 40 punti singolari d'ordine 

 uno. e ciò d' accordo col n° 3. 



