Sul complesso di rette, dell S 4 , di 4° specie, d' ordine 2 e di classe 4 



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1 1 . Viceversa 



ad ogni punto singolare d' ordine uno appartengono dodici piani singolari. 



Infatti se il piano di (S'J passa per S if i punti 8 { ed S\ sono associati (n° 9); e 

 viceversa. Dunque i piani singolari passanti per S t , distinti dal piano di (SJ, sono tanti 

 quanti sono i punti associati di S n cioè (n° 10) sono undici. Complessivamente, cioè te- 

 nendo conto del piano di (SJ, abbiamo 11 -\- 1 ~ 12 piani singolari passanti per S v 



12. Il fascio (S t ) seca 1' ipersuperficie focale <I> in una curva d' ordine 1 / 2 6.1 = 3 con- 

 tata (M, n° 6) due volte; ne segue che 



i dodici punti singolari d' ordine 1 e il punto singolare d' ordine 2 appartenenti 

 ad un piano singolare, giacciono in una stessa cubica lungo la quale questo piano 

 tocca V ipersuperficie focale 

 Analogamente 



i venti punti singolari d' ordine lei tre punti singolari d' ordine 2 appartenenti 

 ad un cono quadrico di V, giacciono in una stessa sestica avente il vertice di 

 questo cono co/ne doppio, la quale è biproiettala da questo punto medesimo , e 

 lungo la quale il detto cono quadrico tocca V ipersuperficie focale ( P. 



13. Sia r una retta generica di (x); se un piano singolare è incontrato da r fuori 

 della conica x, siccome esso si appoggia (n° 4) a questa, così sarà cospaziale con t, onde 

 sarà uno dei 20 fasci (n" 2) di Y aventi i centri in questa conica. Siccome, poi, per cia- 

 scuno dei due punti re passano (n° 5) 20 fasci di T, così concludiamo che i piani sin- 

 golari incontrati dalla retta r sono 20 -j- 2.20 = 60. 



Dunque : 



L' ipersuperficie o t generata dai piani singolari del complesso V è d' ordine 60. 

 Essa ha la conica t 20-pla e la curva a 12-pla. 



14. Sia S 2 un punto generico di t; esistono (n° 5) 20 punti di o appartenenti al cono 

 quadrico (S 2 ) ; sia S L uno di questi. Nel fascio (S L ) esistono (n° 10) altri 11 punti di a; 

 sia S"j uno di questi. Nel fascio (S'\) esistono altri 10 punti di a (distinti da S'\ e S t ); 

 sia S\ uno di questi ; infine sia S' 2 il punto comune (n° l ) a z e al fascio (S\). Dunque 

 ad un punto S 2 di i possiamo far corrispondere 20.11.10. — 2200 punti (come S' 2 ) di z 

 medesima. Viceversa è chiaro che ad un punto S' 2 corrispondono 2200 punti come S 2 . 



Supponiamo che S 2 coincida con S\ 2 . Allora siccome i raggi S l S 2 , S i S" l , S\S'i , S' L S" i 

 appartengono a T, così i piani dei fasci (aSJ e (S\) avranno in comune la retta S 2 S" i , 

 retta che non appartiene a F, perchè essendo S L S" t retta di V, il punto S'\ non appar- 

 tiene ( 16 ) al cono (S 2 ) , e quindi S 2 S" i non è retta di T. 



Dunque i piani dei fasci (S^ e [S'J si secano in una retta, la S 2 S'\ , che non ap- 

 partiene a r ; ne segue (n° 8) che la rigata delle rette di T esistente nel loro spazio, 

 sarà composta dei tre fasci (S L ), (S\), (/S" d ) ( lv ), e di un quarto fascio (S'" L ) il cui cen- 

 tro iS"" ( appartiene alla retta S 9 S'' t . 



Viceversa siano (n° 8) (S\), {S'\), (S"\) quattro fasci di T cospaziali, e le rette 



$j S\ , S'\ S''\ non appartengano a T ; è chiaro che ripetendo il procedimento dato in 

 principio di questo n°, il punto $'2 coinciderà col punto S 2 = t. S" L S'" L • 



( 16 ) È facile dimostrare che se S" \ fosse nella retta ,S'.> Si , il inulto Sj non potrebbe essere una coinci- 

 denza per la stabilita corrispondenza. 



C 7 ) Si noti che ,S"', S\ e .S'", s\ sono rette di T, onde il fascio (S'\) appartiene al detto spazio. 



