Memorisi XI. 



MICHELE CIPOLLA 



Sui principii del Calcolo aritmetico-integrale 



In un saggio di calcolo aritmetico-integrale pubblicato sei anni or sono, io posi 

 a fondamento della teoria delle funzioni numeriche le proprietà di un' operazione che de- 

 nominai moltiplicazione integrale. Mostrai allora come l'introduzione di un calcolo ope- 

 rativo abbastanza semplice permetta di riunire e sistemare una folla di proprietà aritmetiche, 

 sparse in lavori disparati, e dedotte con metodi più o meno complicati, e di ritrovarne 

 numerose altre, non meno interessanti. 



In quel saggio io mi limitai a considerare solamente quelle relazioni che si riferiscono 

 alla decomposizione di un numero naturale in due o più fattori, riattaccando i risultati 

 particolari di Dedekind e Liouville, e quelli più generali di Bugajev e Cesàro ad una 

 nuova classe di funzioni analitico-aritmetiche di cui mostrai l' importanza nella teoria delle 

 serie di Dirichlet. 



Adesso io ritorno a quel metodo per applicarlo ad un' altra classe estesissima di re- 

 lazioni, che nascono dalla considerazione delle cosiddette funzioni sommatorie. 



Farò precedere, per maggiore chiarezza e comodità del lettore, un riassunto della teo- 

 ria dei prodotti integrali, rimandando al citato saggio per la letteratura sul riguardo e pei 

 maggiori dettagli; poi, come conseguenza di relazioni generalissime, otterrò un gran nu- 

 mero di risultati notevoli, molti dei quali sparsi in varii lavori di Dirichlet, Bugajev, 

 Lipschitz, Cesàro, Hermite, Gegenbauer, Busche, Hacks ed altri autori che saranno via 

 via citati. Questi risultati offrono tutti un grande interesse per le applicazioni di varia na- 

 tura che se ne fanno o possono farsi nella teoria della divisibilità , delle congruenze de- 

 gli alti gradi , in aritmetica assintotica , ecc., delle quali applicazioni spero di occuparmi 

 presto in successivi lavori. 



[. 



La moltiplicazione integrale. 



1. Prodotto integrale — Essendo f, g due funzioni numeriche (cioè delìnite per 

 ogni numero intero positivo n), dicesi 2 ) prodotto integrale di / per g, e denotasi con 



') Specimen de Calcitili arithmelico-integrale, Revista de Mathematica, t. 9. a. 1908. Lo richiamerò nel 

 seguito semplicemente col titolo di Specimen. 

 *) Specimen, n. i. 



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