Michele Cipolla [Memoria XI.] 



fxg , la funzione numerica il cui valore , per ogni // , è dato dalla somma dei prodotti 



corrispondenti ai diversi divisori il di // .' 



(fxg)(n) = S/(-J-)g-(tf). 



Se lì è pure una funzione numerica, si pone 



fxgxh = (fxg)xh, 



e si dimostra facilmente che il prodotto integrale è associativo e commutativo. Sus- 

 siste pure la proprietà distributiva del prodotto integrale rispetto alla somma : 



fx {g -j- h) = fxg -f fxh. 

 Inoltre, se / (1) =|= 0, da fxg — fxh segue g = h. 



La funzione numerica a, per la quale si ha sempre, qualunque sia la funzione f: 



/x« = /, 



ha l ) il valore 1 per il valore 1 dell' argomento, e per tutti gli altri valori ; essa dicesi 

 /' u ìi Uà integrale. 



2. Funzioni imprimitive, composte, logaritmiche — Se la proprietà 



f(mn) = f(m) . /(») (1) 



ha luogo per ogni coppia di numeri ///, // primi fra loro , la funzione / dicesi 2 ) impri- 

 mitiva. 



'1 — Se una funzione imprimitiva f non è sempre nulla, allora si ha f (1) = 1. 

 Se la proprietà (l) vale qualunque siano i numeri (interi positivi) m, u, la funzione / 



dicesi 3 ) composta. 



Le funzioni et, //'' | ;/ (essendo *) r un numero reale qualunque), sen — sono com- 

 poste. 



Ogni funzione composta è imprimitiva, ma non inversamente. 



La funzione v (n), numero dei divisori di », e la funzione a (//), somma dei divisori 

 di sono imprimitive, non composte. 



Circa le funzioni imprimitive e le composte si hanno le prop. notevoli : 



) Specimen, n. 4. 

 : ) Specimen , 2*0. 



') ivi, 2'OI. 



l ) Useremo il simbolo ./(.i) | x per denotare la funzione che per l'argomento x ha il valore f{x). 



