Sui pi itici pi i del Calcolo aritmetico-integrale 



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- 2 — // prodotto integrale di funzioni ini primitive è una finizione ini primi- 

 tiva t ). 



'3 — Se f è composta, si Ita 



f.(gxll) : (f.g)x(f.h) 



Se, per ogni coppia di numeri ///, //, primi tra loro, si ha 



f(mn) = f(m) + /(«), 



la funzione / dicesi logaritmica (Bugaiev) 2 ). 



Se f è una funzione logaritmica, si ha /'(1) = 0. 



Le funzioni k («), numero dei fattori primi di //, e t (//) somma degli esponenti delle 

 massime potenze contenute in //, dei fattori primi di n, sono funzioni logaritmiche. 



3. L' integrale numerico — Denotiamo 3 ) con la funzione numerica che ha sem- 

 pre il valore 1. Essa è una funzione composta. 



Il prodotto integrale di / per dicesi 3 ) 1' integrale numerico di / (Bugajev, Ce- 

 sàro) e si denota con If: 



// = /xo, //(«) = S /(<*), 



essendo la somma estesa a tutti i divisori d di //. 



In virtù della prop. 2"2, V integrale numerico di una funzione imprimitiva è 

 una funzione imprimitiva. 



Noi denoteremo costantemente con a un divisore primo generico di u , e con cu l'e- 

 sponente della massima potenza contenuta in //, di a. Quindi, se f è imprimitiva, si ha 



ff(u) = n />(«") = II \f(l) -f- f(a) + f(a 2 ) + ...+ f{a») \ . 



J {a,w) J (".co) 



Evidentemente (art. 2) 



v = j , = j (n \n) , 



quindi 



a' tì+1 — 1 



v {n) = II (co -f 1) , a (n) = n — i , 



li) (l7,< f >) " 



e se s è un numero intero positivo qualunque : 



f 5 ' £( "> = v(«J . 



) Specimen, 4 "4. 



-j Collect. mat. di Mosca, in russo, t, 13. a. 1887, p. 757", e Specimen, n. 3. 

 3 ) Specimen, n. 5. 



