Sui principii del Calcolo aritmetico-integrale 



Dalla prop. 2*2 segue che i cointegrali di una finizione imprimitiva sono fun- 

 zioni imprimitive. Per conseguenza il calcolo del cointegrale ///""" di una funzione 

 imprimitiva si riconduce a quello relativo ad una potenza a" di un numero primo. Ora 

 se f è una funzione numerica qualunque, si ha, con una notazione del calcolo isobarico l ) : 



m i 



Se /= o, allora / (a u> ) rappresenterà il numero delle soluzioni, in numeri interi non 

 negativi, dell' equazione 



X i + X i + ••• + x m = 



Poiché questo numero, com' è noto, è uguale a |"' ^ ' W J , si ha 



= n r-j+-l . (3, 



Ne segue, in virtù della prop. 2"3 : 



•1 — Se f(n) é m/m funzione composta, si ha: 



ut »• //., |_|_m\ 



f (n) = f(n)S (n)= fin) II ( m J 1 , 



di 



e in particolare (m == 2) : 



/**(») =/(«)v («) . 



Giusta la definizione, / x (//) è uguale alla somma di tutti i prodotti della forma 

 /(x,)/(x 2 ) ...f(x m ) , corrispondenti alle soluzioni, in numeri interi positivi, dell'equazione 



x- t X, ... X m — 11 . 



Ora se m t (//), quest'equazione non ammette soluzioni con numeri interi tutti di- 

 versi dall' unità, e per conseguenza è nullo il cointegrale m""" di una funzione che si 

 annulla per il valore l dell' argomento. Una tale proprietà presenta sempre la funzione 

 / — /(l)a, qualunque sia la/, e però, se /// >> t (7/) : 



m 



(f — f(\)af {n) = 0. 

 Sviluppando il primo membro, conformemente alla proprietà (1), si deduce 



/•(!)« in) = (7) f m ~ l il) fin) - (7)r" 9 U)/ X * (») + ... + (_lf VV) (4) 



) Cfr. per es. la mia .inalisi algebrica (ed. Gapozzi, Palermo, a. 1914), p. 353. 



