Sui principi i del Calcolo aritmetico-integrale 



7 



5. Coniugata di una funzione. La funzione di Mobius — Se il prodotto integrale di 

 due funzioni numeriche è uguale ad a, le due funzioni diconsi coniugate fra loro (Ce- 

 sàro). Si dimostra *) che : 



•1 — Una funzione numerica f non può ammettere che una sola coniugata, 



e perchè questa esista effettivamente occorre e basta sia 1(1) =|= 0. 



— ì 



La coniugata di f si denota con /' x . 

 -i 



Per il calcolo di /" x si possono utilizzare diverse forinole. 



— ì 



Per es., se si pone nella (5) del n. precedente g = f x , si ottiene 



J w \i) /(i) \2)f(iy\3) f 3 (i) 



purché sia /// >• r («). Ma è più comoda per i calcoli la forinola 



^x- 1 ^ « /-/(!)« ,. (/-/ (1)«) X2 ( 2 ) 

 /(l) / 2 (D ^ 7 3 (1) 



che si dimostra subito a posteriori, osservando che il prodotto integrale del 2° membro 

 per la funzione/, ossia per (/ — /(1)«) -p/O)", è uguale ad «. Per conseguenza, in 

 virtù della (2) del n. prec, si ha 



»» = ! 



A questa forinola si ricorre per il calcolo della coniugata di una funzione / imprimi- 

 tiva (non identicamente nulla, e però/(l)=l), poiché 2 ) : 



'2 — La coniugata di una funzione imprimitiva {non identicamente nulla) è 

 imprimitiva. 



'3 — Se f è una funzione composta si ha 



f x \n) = f{n) |t (n) , (3) 



essendo 



[i. = o x . (4) 



La funzione \>. è la cosiddetta funzione di Mobius, e poiché è imprimitiva si ha 

 |j. (a) = — 1 , [J-(rt c,J ) = , se co > 1 ; 



') Specimen, n. io. 

 '-) Specimen , io - 4. 



