Sui principi/ del Calcolo aritmetico-integrale 1 1 



mentre per le funzioni v e a, aventi derivata composta, si devono applicare le (li) e (3) : 

 si ottiene, nell' ipotesi che n non sia divisibile per il cubo di un numero intero maggiore 

 di 1: 



* l—\ 



v x_J (,') = (-l) xW 2 , pM») = (-l) t( "» ( II («-J-2-U)), 



essendo d$ il massimo quadrato che divide //. 



Più generalmente, se la funzione / ha per integrale ni"" una funzione composta, si 

 ha, in virtù della prop. 3'3 : 



^-(„,=/"|,(</ W J=n )S («+;-i) - (»+v 2 )(/w+»)ì ■ 



E se è composta la derivata m ima di /', si ha : 



f\ n) = 3»|,(« )9 »rw| = (-0™ n,}CT) + (Zi\ (/«-«){• 



7. Fattoriali integrali — Se / è una funzione numerica sempre positiva e g una 

 funzione numerica qualunque, si denota x ) con P(f, g, n) il prodotto II/ 3 ' H~\ esteso a 



d 



tutti i divisori d di //, e con P(J\ g) la funzione il cui valore, per ogni n, è dato da 

 detto prodotto : 



P (f, g, n) = n/"" ( T J , P (/, g) = P (/, g, n)\n. 



■P(f, dicesi il fattoriale integrale di f a g secondo n. 



Le proprietà dei fattoriali integrali si possono dedurre dalle proprietà dei prodotti in- 

 tegrali, in virtù della relazione : 



log P(f,.g) = log fxg . 

 Per es., se / e g sono imprimitive, si ha per la prop. 3*2 : 



l>(/,g,n)= II P{f,g){a U) ) J . (1) 



{a, ni) 



Facciamo alcune applicazioni di questa forinola. Supponiamo che per ogni // si ab- 

 bia fin) -n, g(n) = 1. Allora si ottiene il noto teorema circa il prodotto di tutti i di- 

 visori di un numero : 



<jj((0+i) / a \ v(u) 

 2 \a"'ì 2 



II d — II a = n 



d (a,(i>) 



') Specimen, n. 14. 



