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Michele Cipolla 



| Memoria XI. | 



Se f='v e g — o, si ottiene 



\h(d) =-- n j(o> + uto/ , 



e se/=cp (indicatore), e g = u si ricava 



1 



n<p(rf) — » ii ( ì - — ) 



(«,a>)\ « ' ' 



Il prodotto II/ (rf) dicesi il fattoriale integrale di f. 



d 



Una conseguenza notevole si ottiene dalla (1) supponendo g = |x. In tal caso gl'in- 

 tegrali numerici che figurano come esponenti nella (1) sono tutti nulli se n non è una 

 potenza di un numero primo, quindi : 



"1 - - Se f è una funzione ini primitiva ed n non è una potenza di un numero 

 primo si ha: 



P (/>,«) = 1. 



Il fattoriale integrale di / a g si può sempre esprimere con un altro fattoriale inte- 

 grale in cui la seconda funzione è arbitrariamente assegnata, in virtù della prop. : 



■2 — Se f è una funzione numerica positiva, e g, G due funzioni numeriche 

 qualunque, posto 



F= PifgxG^), 



si ha 



P[fg) = P(F,G). 



In particolare, se si assume G = o, e però F=P(f dg), risulta P(f, g) = P{F, o), 



ossia 



P{f,g,n) = UF(d); 



d 



in altri termini : 



"3 — Ogni fattoriale integrale di una funzione numerica ad un'altra può es- 

 sere ridotto ad un semplice fattoriale integrale. 



In particolare, assumendo g = a, e notando che da = \>., si deduce la legge inver- 

 siva dei fattoriali integrali: 



•4 — Se 



fin) = UF{d), 



d 



allora si ha 



Fin) = IIF 



d 



